静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
流体力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 0.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
入口径 100 mm、のど部径 60 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 38 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。
d1 = 100 mmd2 = 60 mmp1 − p2 = 38 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 30 kPa の圧縮空気がある。水面より 1.5 m 下にある直径 50 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ 流量 Q。 g = 9.81 m/s² とする。
pair = 30 kPa (ゲージ圧)h = 1.5 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 100 m、内径 100 mm の管内を 4 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
Q = 4 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 300 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 20 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。
Q = 20 L/sL = 300 mD = 150 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Δz = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
試験で、ポンプが揚程 54 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 80 L/s 送り、そのとき軸動力は 51.7 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。
Q = 80 L/sH = 54 mPshaft = 51.7 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 20 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 7 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 150 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 75% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 20 L/sΔz = 7 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.022ΣK = 8η = 75%
Pshaft = kW
3溶液
1.静水圧
答え: F = 27.59 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.25·2.25 = 27.59 kN
答え
F = 27.59 kN
2.静水圧
答え: ycp = 2.333 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·2.25·1.5 = 29.14 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 1·1.5³/12 = 0.2813 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2.25 + 0.2813/(2.25·1.5) = 2.333 m
答え
ycp = 2.333 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 26.42 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
連続の式
v1 = v2·(60/100)² = 0.36·v2
入口とのど部の間のベルヌーイの式
管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·38000/(1000·(1 − 0.1296))) = 9.344 m/s
v1 = 3.364 m/s
流量
Q = A2·v2 = 0.002827·9.344 = 0.02642 m³/s = 26.42 L/s
答え
Q = 26.42 L/s
4.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 18.57 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
水面から噴流へのベルヌーイの式
v = √(2·(30000/1000 + 9.81·1.5)) = 9.457 m/s
流量
Q = A·v = 0.001963·9.457 = 0.01857 m³/s = 18.57 L/s
答え
Q = 18.57 L/s
5.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 0.2644 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
平均流速
A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²
V = Q/A = 0.004/0.007854 = 0.5093 m/s
速度水頭
V²/(2g) = 0.5093²/(2·9.81) = 0.01322 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(100/0.1)·0.5093²/(2·9.81) = 0.2644 m
答え
hf = 0.2644 m
6.管摩擦と損失水頭
答え: Δz = 2.246 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.02/0.01767 = 1.132 m/s
V²/(2g) = 0.06529 m
損失係数
f·L/D = 0.015·300/0.15 = 30
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4
全損失水頭
hf = 30·0.06529 = 1.959 m
hm = 4.4·0.06529 = 0.2873 m
Δz = hf + hm = 2.246 m
答え
Δz = 2.246 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: η = 81.97 %
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.08·54 = 42.38 kW
効率
η = Ph/Pshaft = 42.38/51.7 = 81.97%
答え
η = 81.97%
8.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 2.344 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.02/0.01767 = 1.132 m/s
V²/(2g) = 0.06529 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 8)·0.06529 = 1.959 m
ポンプ揚程
H = Δz + hL = 7 + 1.959 = 8.959 m
軸動力
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.02·8.959/0.75 = 2.344 kW
答え
Pshaft = 2.344 kW
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