流体力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 2.5 mH = 2.5 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 3 mH = 2.5 m

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
12d1​ = 100 mm, p1​ = 200 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

水が、100 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 200 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。

d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 200 kPav1 = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
H = ?d1​ = 100 mmp1​ = 60 kPad2​ = 40 mm

噴水のノズルが真上を向いている。ノズルのすぐ下で、供給管の直径は 100 mm、ゲージ圧は 60 kPa である。ノズル出口の直径は 40 mm で、ノズル前後の高さの差は無視できる。損失と空気抵抗を無視して、噴流がノズルより上に達する高さ H を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d1 = 100 mmp1 = 60 kPa (ゲージ圧)d2 = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.管摩擦と損失水頭ふつう
Q = 5 L/sD = 75 mmL = 200 mf = 0.022

水が、長さ 200 m、内径 75 mm の管内を 5 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。

Q = 5 L/sL = 200 mD = 75 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 0.2Δz = 28 mL = 300 m, D = 250 mm, f = 0.0152× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 300 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 28 m 高い。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 0.2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。

Δz = 28 mL = 300 mD = 250 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 0.2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 100 L/sH = 76 m

試験で、ポンプが揚程 76 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 100 L/s 送り、そのとき軸動力は 99.4 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。

Q = 100 L/sH = 76 mPshaft = 99.4 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
PQ = 40 L/sΔz = 14 mL = 100 m, D = 150 mm, f = 0.018, ΣK = 6

ポンプが 40 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 14 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 40 L/sΔz = 14 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 6
H = m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 138 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
ゲートd = 2.5 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.75·3.75 = 138 kN

答え

F = 138 kN
2.静水圧

答え: F = 106.8 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m
A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²
ゲートd = 3 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·4.25·2.5 = 106.8 kN

答え

F = 106.8 kN
3.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 198.1 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(100/50)² = 2 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 2²)/1000 = −1.875 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 200 + (−1.875) = 198.1 kPa

答え

p2 = 198.1 kPa
4.連続の式とベルヌーイ

答え: H = 6.277 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

出口流速

β = 40/100 = 0.4
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·60000/(1000·0.9744)) = 11.1 m/s

噴流の高さ

噴流に沿ったベルヌーイの式：最高点では流速は 0 で、圧力は再び大気圧です。

H = v2²/(2g) = 11.1²/(2·9.81) = 6.277 m

答え

H = 6.277 m
5.管摩擦と損失水頭

答え: hf = 3.83 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.075²/4 = 0.004418 m²
V = Q/A = 0.005/0.004418 = 1.132 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 1.132²/(2·9.81) = 0.06529 m

ダルシー・ワイスバッハの式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(200/0.075)·1.132²/(2·9.81) = 3.83 m

答え

hf = 3.83 m
6.管摩擦と損失水頭

答え: Q = 255.4 L/s

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失係数

f·L/D = 0.015·300/0.25 = 18
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.3

エネルギー式

どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。

28 = (18 + 2.3)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·28/20.3) = 5.202 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 5.202·0.04909 = 0.2554 m³/s = 255.4 L/s

答え

Q = 255.4 L/s
7.ポンプとポンプ動力

答え: η = 75.01 %

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·76 = 74.56 kW

効率

η = Ph/Pshaft = 74.56/99.4 = 75.01%

答え

η = 75.01%
8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 18.7 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 6)·0.2611 = 4.701 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + hL = 14 + 4.701 = 18.7 m

答え

H = 18.7 m

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