伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
れんが, k = 0.72100 mmコンクリート, k = 1.475 mm16 °C-7 °CTi​ = ?Q̇

壁はれんが 100 mm とコンクリート 75 mm からなり、面積は 4 m² である。外側の両面は 16 °C と -7 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 16 °CT3 = -7 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
ガラス, k = 0.96200 mmコンクリート, k = 1.450 mm室内 22 °C屋外 -5 °CTs​ = ?Q̇

200 mm のガラスと 50 mm のコンクリートからなる壁が、22 °C の部屋と -5 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 8 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 6 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 6 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -5 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT110 °C10 °C75 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 110 °C で凝縮する。冷却水（1 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、10 から 75 °C まで温まる。熱通過率は 1500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 110 °Cṁ = 1 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 75 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT140 °C15 °C?ΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

伝熱面積 2 m²、U = 2500 W/(m²·K) の復水器の管の外側で、蒸気が一定の 140 °C で凝縮する。冷却水（3 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 15 °C で管に流入する。水の出口温度 Tc,out を求めよ。

Ts = 140 °CA = 2 m²U = 2500 W/(m²·K)ṁ = 3 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °C
Tc,out = °C

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = −0.5979 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.72·4) = 0.03472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1.4·4) = 0.01339 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 23/0.04812 = 478 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 478·0.03472 = −0.5979 °C

答え

Ti = −0.5979 °C
2.熱伝導

答え: Ts = 13.75 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·6) = 0.02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.96·6) = 0.03472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1.4·6) = 0.005952 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·6) = 0.006667 K/W
ΣR = 0.06817 K/W

熱損失

Q̇ = (22 − (-5))/0.06817 = 396 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 396·0.02083 = 13.75 °C

答え

Ts = 13.75 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 2.926 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 1·4.18·(75 − 10) = 271.7 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 110 − 10 = 100 K
ΔT₂ = 110 − 75 = 35 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 35)/ln(100/35) = 61.92 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 271700/(1500·61.92) = 2.926 m²

答え

A = 2.926 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: Tc,out = 56.1 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

エネルギー収支と伝熱速度の式を組み合わせる

ΔT₁ = Ts − Tc,in、ΔT₂ = Ts − Tc,out とすると、差 ΔT₁ − ΔT₂ は水の温度上昇に等しいので、温度上昇は消去されます。

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2500·2/(3·4180) = 0.3987

出口温度

ΔT₂ = ΔT₁·e−0.3987 = 125·0.6712 = 83.9 K
Tc,out = 140 − 83.9 = 56.1 °C

答え

Tc,out = 56.1 °C

伝熱量：Q̇ = 515.4 kW。

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