伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
れんが, k = 0.72250 mmガラス, k = 0.96100 mm16 °C-10 °CTi​ = ?Q̇

壁はれんが 250 mm とガラス 100 mm からなり、面積は 20 m² である。外側の両面は 16 °C と -10 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 250 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 16 °CT3 = -10 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
れんが, k = 0.7250 mmコンクリート, k = 1.4150 mm室内 20 °C屋外 -3 °CQ̇ = ?

50 mm のれんがと 150 mm のコンクリートからなる壁が、20 °C の部屋と -3 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 6 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 8 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -3 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT105 °C15 °C75 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 105 °C で凝縮する。冷却水（2 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、15 から 75 °C まで温まる。熱通過率は 2500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 105 °Cṁ = 2 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 15 → 75 °CU = 2500 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT140 °C60 °C?25 °CΔT₁ΔT₂向流

向流二重管式熱交換器で、高温の油（0.5 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が内管を流れ、140 から 60 °C まで冷える。 環状部の水（1 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 25 °C で流入する。内管の直径は 25 mm で、U = 400 W/(m²·K) はこの直径を基準とする。必要な管の長さ L を求めよ。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 140 → 60 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 25 °CD = 25 mmU = 400 W/(m²·K)
L = m

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = −4 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0.72·20) = 0.01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.96·20) = 0.005208 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0.02257 = 1152 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 1152·0.01736 = −4 °C

答え

Ti = −4 °C
2.熱伝導

答え: Q̇ = 467.9 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0.02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.72·8) = 0.008681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1.4·8) = 0.01339 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0.00625 K/W
ΣR = 0.04916 K/W

熱損失

Q̇ = (20 − (-3))/0.04916 = 467.9 W

答え

Q̇ = 467.9 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 3.674 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 2·4.18·(75 − 15) = 501.6 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 105 − 15 = 90 K
ΔT₂ = 105 − 75 = 30 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 30)/ln(90/30) = 54.61 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 501600/(2500·54.61) = 3.674 m²

答え

A = 3.674 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: L = 44.52 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = 0.5·2.1·(140 − 60) = 84 kW
Tc,out = 25 + 84/(1·4.18) = 45.1 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 45.1 = 94.9 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 25 = 35 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (94.9 − 35)/ln(94.9/35) = 60.05 K

面積と長さ

A = 84000/(400·60.05) = 3.497 m²
L = A/(πD) = 3.497/(π·0.025) = 44.52 m

答え

L = 44.52 m

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