伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
れんが, k = 0.7250 mmガラス, k = 0.9675 mm15 °C5 °CTi​ = ?Q̇

壁はれんが 50 mm とガラス 75 mm からなり、面積は 15 m² である。外側の両面は 15 °C と 5 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 15 °CT3 = 5 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
木材, k = 0.17100 mmガラス, k = 0.9650 mm室内 20 °C屋外 -3 °CTs​ = ?Q̇

100 mm の木材と 50 mm のガラスからなる壁が、20 °C の部屋と -3 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 6 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 8 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -3 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT100 °C55 °C40 °C25 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 450 kW を伝える。 高温流体は 100 から 55 °C まで冷え、低温流体は 25 から 40 °C まで温まる。熱通過率は 800 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 450 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 100 → 55 °CTc: 25 → 40 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT105 °C50 °C?20 °CΔT₁ΔT₂向流

向流二重管式熱交換器で、高温の油（0.3 kg/s、cp = 2.3 kJ/(kg·K)）が内管を流れ、105 から 50 °C まで冷える。 環状部の水（0.3 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 20 °C で流入する。内管の直径は 20 mm で、U = 150 W/(m²·K) はこの直径を基準とする。必要な管の長さ L を求めよ。

ṁh = 0.3 kg/scp,h = 2.3 kJ/(kg·K)Th: 105 → 50 °Cṁc = 0.3 kg/sTc,in = 20 °CD = 20 mmU = 150 W/(m²·K)
L = m

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 10.29 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.72·15) = 0.00463 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.96·15) = 0.005208 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 10/0.009838 = 1016 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 1016·0.00463 = 10.29 °C

答え

Ti = 10.29 °C
2.熱伝導

答え: Ts = 15.47 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0.02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.17·8) = 0.07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.96·8) = 0.00651 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0.005 K/W
ΣR = 0.1059 K/W

熱損失

Q̇ = (20 − (-3))/0.1059 = 217.2 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 217.2·0.02083 = 15.47 °C

答え

Ts = 15.47 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 13 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 40 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 25 = 30 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 30)/ln(60/30) = 43.28 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 450000/(800·43.28) = 13 m²

答え

A = 13 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: L = 97.89 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = 0.3·2.3·(105 − 50) = 37.95 kW
Tc,out = 20 + 37.95/(0.3·4.18) = 50.26 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 50.26 = 54.74 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 20 = 30 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (54.74 − 30)/ln(54.74/30) = 41.14 K

面積と長さ

A = 37950/(150·41.14) = 6.15 m²
L = A/(πD) = 6.15/(π·0.02) = 97.89 m

答え

L = 97.89 m

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