伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
れんが, k = 0.72200 mmロックウール, k = 0.0450 mm20 °C6 °CQ̇ = ?

壁はれんが 200 mm とロックウール 50 mm からなり、面積は 20 m² である。外側の両面は 20 °C と 6 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.04 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 20 °CT3 = 6 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
コンクリート, k = 1.4150 mmれんが, k = 0.72150 mm室内 21 °C屋外 -9 °CQ̇ = ?

150 mm のコンクリートと 150 mm のれんがからなる壁が、21 °C の部屋と -9 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 4 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 4 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -9 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT80 °C65 °C45 °C20 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 280 kW を伝える。 高温流体は 80 から 65 °C まで冷え、低温流体は 20 から 45 °C まで温まる。熱通過率は 200 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 280 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 80 → 65 °CTc: 20 → 45 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT125 °C100 °C39.94 °C20 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（2 kg/s、cp = 2.5 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 125 から 100 °C まで冷える。油は 20 °C で流入する水 1.5 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 200 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 2 kg/scp,h = 2.5 kJ/(kg·K)Th: 125 → 100 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 183.3 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.72·20) = 0.01389 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.04·20) = 0.0625 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/0.07639 = 183.3 W

答え

Q̇ = 183.3 W
2.熱伝導

答え: Q̇ = 247.2 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·4) = 0.03247 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1.4·4) = 0.02679 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.72·4) = 0.05208 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0.01 K/W
ΣR = 0.1213 K/W

熱損失

Q̇ = (21 − (-9))/0.1213 = 247.2 W

答え

Q̇ = 247.2 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 35.18 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 45 = 35 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 20 = 45 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (35 − 45)/ln(35/45) = 39.79 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 280000/(200·39.79) = 35.18 m²

答え

A = 35.18 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 7.575 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2.5·25 = 125 kW
Tc,out = 20 + 125/(1.5·4.18) = 39.94 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 39.94 = 85.06 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 100 − 20 = 80 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85.06 − 80)/ln(85.06/80) = 82.51 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 125000/(200·82.51) = 7.575 m²

答え

A = 7.575 m²

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