伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
発泡ポリスチレン, k = 0.035150 mm石こうボード, k = 0.1750 mm17 °C10 °CQ̇ = ?

壁は発泡ポリスチレン 150 mm と石こうボード 50 mm からなり、面積は 8 m² である。外側の両面は 17 °C と 10 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 17 °CT3 = 10 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
れんが, k = 0.72150 mm石こうボード, k = 0.1775 mm室内 21 °C屋外 -14 °CTs​ = ?Q̇

150 mm のれんがと 75 mm の石こうボードからなる壁が、21 °C の部屋と -14 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 4 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -14 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT140 °C20 °C35 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 140 °C で凝縮する。冷却水（0.5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、20 から 35 °C まで温まる。熱通過率は 1500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 140 °Cṁ = 0.5 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 35 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT105 °C30 °C?ΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

伝熱面積 2 m²、U = 2500 W/(m²·K) の復水器の管の外側で、蒸気が一定の 105 °C で凝縮する。冷却水（1 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 30 °C で管に流入する。水の出口温度 Tc,out を求めよ。

Ts = 105 °CA = 2 m²U = 2500 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °C
Tc,out = °C

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 12.23 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0.035·8) = 0.5357 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.17·8) = 0.03676 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 7/0.5725 = 12.23 W

答え

Q̇ = 12.23 W
2.熱伝導

答え: Ts = 15.52 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·4) = 0.03247 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0.72·4) = 0.05208 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.17·4) = 0.1103 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0.0125 K/W
ΣR = 0.2073 K/W

熱損失

Q̇ = (21 − (-14))/0.2073 = 168.8 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 168.8·0.03247 = 15.52 °C

答え

Ts = 15.52 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 0.1861 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 0.5·4.18·(35 − 20) = 31.35 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 140 − 20 = 120 K
ΔT₂ = 140 − 35 = 105 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120 − 105)/ln(120/105) = 112.3 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 31350/(1500·112.3) = 0.1861 m²

答え

A = 0.1861 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: Tc,out = 82.32 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

エネルギー収支と伝熱速度の式を組み合わせる

ΔT₁ = Ts − Tc,in、ΔT₂ = Ts − Tc,out とすると、差 ΔT₁ − ΔT₂ は水の温度上昇に等しいので、温度上昇は消去されます。

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2500·2/(1·4180) = 1.196

出口温度

ΔT₂ = ΔT₁·e−1.196 = 75·0.3023 = 22.68 K
Tc,out = 105 − 22.68 = 82.32 °C

答え

Tc,out = 82.32 °C

伝熱量：Q̇ = 218.7 kW。

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