伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
コンクリート, k = 1.4100 mmれんが, k = 0.72150 mm21 °C-1 °CTi​ = ?Q̇

壁はコンクリート 100 mm とれんが 150 mm からなり、面積は 6 m² である。外側の両面は 21 °C と -1 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 21 °CT3 = -1 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
木材, k = 0.1750 mmコンクリート, k = 1.4150 mm室内 20 °C屋外 -6 °CQ̇

50 mm の木材と 150 mm のコンクリートからなる壁が、20 °C の部屋と -6 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 12 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 12 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -6 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT90 °C65 °C10 °C50 °CΔT₁ΔT₂並流

並流熱交換器が 180 kW を伝える。 高温流体は 90 から 65 °C まで冷え、低温流体は 10 から 50 °C まで温まる。熱通過率は 500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 180 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 90 → 65 °CTc: 10 → 50 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT105 °C55 °C?15 °CΔT₁ΔT₂向流

向流二重管式熱交換器で、高温の油（1 kg/s、cp = 2.3 kJ/(kg·K)）が内管を流れ、105 から 55 °C まで冷える。 環状部の水（1 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 15 °C で流入する。内管の直径は 20 mm で、U = 500 W/(m²·K) はこの直径を基準とする。必要な管の長さ L を求めよ。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.3 kJ/(kg·K)Th: 105 → 55 °Cṁc = 1 kg/sTc,in = 15 °CD = 20 mmU = 500 W/(m²·K)
L = m

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 15.38 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1.4·6) = 0.0119 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.72·6) = 0.03472 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 22/0.04663 = 471.8 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 21 − 471.8·0.0119 = 15.38 °C

答え

Ti = 15.38 °C
2.熱伝導

答え: U = 1.751 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·12) = 0.01082 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.17·12) = 0.02451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1.4·12) = 0.008929 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0.003333 K/W
ΣR = 0.04759 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0.04759) = 1.751 W/(m²·K)

答え

U = 1.751 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 9.271 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 90 − 10 = 80 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 65 − 50 = 15 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 15)/ln(80/15) = 38.83 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 180000/(500·38.83) = 9.271 m²

答え

A = 9.271 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: L = 72.61 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = 1·2.3·(105 − 55) = 115 kW
Tc,out = 15 + 115/(1·4.18) = 42.51 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 42.51 = 62.49 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 15 = 40 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (62.49 − 40)/ln(62.49/40) = 50.41 K

面積と長さ

A = 115000/(500·50.41) = 4.563 m²
L = A/(πD) = 4.563/(π·0.02) = 72.61 m

答え

L = 72.61 m

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