伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
発泡ポリスチレン, k = 0.03550 mmガラス, k = 0.96150 mm25 °C6 °CQ̇ = ?

壁は発泡ポリスチレン 50 mm とガラス 150 mm からなり、面積は 15 m² である。外側の両面は 25 °C と 6 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 25 °CT3 = 6 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
ロックウール, k = 0.04200 mmれんが, k = 0.72150 mm室内 22 °C屋外 -2 °CQ̇

200 mm のロックウールと 150 mm のれんがからなる壁が、22 °C の部屋と -2 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 10 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 4 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.04 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 4 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -2 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT125 °C45 °C40 °C20 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 270 kW を伝える。 高温流体は 125 から 45 °C まで冷え、低温流体は 20 から 40 °C まで温まる。熱通過率は 300 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 270 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 125 → 45 °CTc: 20 → 40 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT150 °C100 °C?15 °CΔT₁ΔT₂向流

向流二重管式熱交換器で、高温の油（1 kg/s、cp = 2.5 kJ/(kg·K)）が内管を流れ、150 から 100 °C まで冷える。 環状部の水（1.5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 15 °C で流入する。内管の直径は 25 mm で、U = 200 W/(m²·K) はこの直径を基準とする。必要な管の長さ L を求めよ。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.5 kJ/(kg·K)Th: 150 → 100 °Cṁc = 1.5 kg/sTc,in = 15 °CD = 25 mmU = 200 W/(m²·K)
L = m

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 179.8 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.035·15) = 0.09524 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.96·15) = 0.01042 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 19/0.1057 = 179.8 W

答え

Q̇ = 179.8 W
2.熱伝導

答え: U = 0.1872 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·4) = 0.025 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.04·4) = 1.25 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.72·4) = 0.05208 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·4) = 0.008333 K/W
ΣR = 1.335 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·1.335) = 0.1872 W/(m²·K)

答え

U = 0.1872 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 18.36 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 40 = 85 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 20 = 25 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 25)/ln(85/25) = 49.03 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 270000/(300·49.03) = 18.36 m²

答え

A = 18.36 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: L = 80.16 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = 1·2.5·(150 − 100) = 125 kW
Tc,out = 15 + 125/(1.5·4.18) = 34.94 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 34.94 = 115.1 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 100 − 15 = 85 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115.1 − 85)/ln(115.1/85) = 99.27 K

面積と長さ

A = 125000/(200·99.27) = 6.296 m²
L = A/(πD) = 6.296/(π·0.025) = 80.16 m

答え

L = 80.16 m

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