伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
石こうボード, k = 0.17100 mmロックウール, k = 0.0450 mm17 °C7 °CQ̇ = ?

壁は石こうボード 100 mm とロックウール 50 mm からなり、面積は 20 m² である。外側の両面は 17 °C と 7 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.04 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 17 °CT3 = 7 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
発泡ポリスチレン, k = 0.035150 mmガラス, k = 0.9675 mm室内 20 °C屋外 -15 °CQ̇

150 mm の発泡ポリスチレンと 75 mm のガラスからなる壁が、20 °C の部屋と -15 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 10 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 6 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 6 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -15 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT140 °C115 °C30 °C75 °CΔT₁ΔT₂並流

並流熱交換器が 250 kW を伝える。 高温流体は 140 から 115 °C まで冷え、低温流体は 30 から 75 °C まで温まる。熱通過率は 1000 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 250 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 140 → 115 °CTc: 30 → 75 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT160 °C100 °C63.01 °C30 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1.5 kg/s、cp = 2.3 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 160 から 100 °C まで冷える。油は 30 °C で流入する水 1.5 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 800 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.3 kJ/(kg·K)Th: 160 → 100 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 108.8 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.17·20) = 0.02941 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.04·20) = 0.0625 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 10/0.09191 = 108.8 W

答え

Q̇ = 108.8 W
2.熱伝導

答え: U = 0.2224 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·6) = 0.01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0.035·6) = 0.7143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.96·6) = 0.01302 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0.005556 K/W
ΣR = 0.7495 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(6·0.7495) = 0.2224 W/(m²·K)

答え

U = 0.2224 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 3.613 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 140 − 30 = 110 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 115 − 75 = 40 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 40)/ln(110/40) = 69.2 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 250000/(1000·69.2) = 3.613 m²

答え

A = 3.613 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 3.126 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1.5·2.3·60 = 207 kW
Tc,out = 30 + 207/(1.5·4.18) = 63.01 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 63.01 = 96.99 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 100 − 30 = 70 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (96.99 − 70)/ln(96.99/70) = 82.76 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 207000/(800·82.76) = 3.126 m²

答え

A = 3.126 m²

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