伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
コンクリート, k = 1.450 mmガラス, k = 0.9625 mm17 °C-1 °CTi​ = ?Q̇

壁はコンクリート 50 mm とガラス 25 mm からなり、面積は 15 m² である。外側の両面は 17 °C と -1 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 17 °CT3 = -1 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
木材, k = 0.17200 mmコンクリート, k = 1.425 mm室内 20 °C屋外 -5 °CQ̇ = ?

200 mm の木材と 25 mm のコンクリートからなる壁が、20 °C の部屋と -5 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 8 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -5 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT110 °C65 °C95 °C30 °CΔT₁ΔT₂向流

シェルアンドチューブ熱交換器（1 シェルパス、2 チューブパス）で 610 kW を伝えなければならない。高温流体は 110 から 65 °C まで冷え、低温流体は 30 から 95 °C まで温まる。この配置の LMTD 補正係数は F = 0.88、U = 500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 610 kWF = 0.88U = 500 W/(m²·K)Th: 110 → 65 °CTc: 30 → 95 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT165 °C135 °C45.89 °C10 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（2 kg/s、cp = 2.5 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 165 から 135 °C まで冷える。油は 10 °C で流入する水 1 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 1500 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 2 kg/scp,h = 2.5 kJ/(kg·K)Th: 165 → 135 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 6.59 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(1.4·15) = 0.002381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0.96·15) = 0.001736 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/0.004117 = 4372 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 4372·0.002381 = 6.59 °C

答え

Ti = 6.59 °C
2.熱伝導

答え: Q̇ = 145.5 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·8) = 0.01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.17·8) = 0.1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1.4·8) = 0.002232 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0.00625 K/W
ΣR = 0.1718 K/W

熱損失

Q̇ = (20 − (-5))/0.1718 = 145.5 W

答え

Q̇ = 145.5 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 58.73 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

両端の温度差（向流）

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 95 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 30 = 35 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 35)/ln(15/35) = 23.6 K

面積

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 610000/(500·0.88·23.6) = 58.73 m²

答え

A = 58.73 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 0.8194 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2.5·30 = 150 kW
Tc,out = 10 + 150/(1·4.18) = 45.89 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 165 − 45.89 = 119.1 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 135 − 10 = 125 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (119.1 − 125)/ln(119.1/125) = 122 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 150000/(1500·122) = 0.8194 m²

答え

A = 0.8194 m²

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