伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
コンクリート, k = 1.450 mmガラス, k = 0.9675 mm17 °C6 °CQ̇ = ?

壁はコンクリート 50 mm とガラス 75 mm からなり、面積は 8 m² である。外側の両面は 17 °C と 6 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 17 °CT3 = 6 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
石こうボード, k = 0.17100 mmれんが, k = 0.72100 mm室内 22 °C屋外 -10 °CQ̇

100 mm の石こうボードと 100 mm のれんがからなる壁が、22 °C の部屋と -10 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 6 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 8 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -10 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT120 °C105 °C105 °C30 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 390 kW を伝える。 高温流体は 120 から 105 °C まで冷え、低温流体は 30 から 105 °C まで温まる。熱通過率は 300 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 390 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 120 → 105 °CTc: 30 → 105 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT140 °C15 °C?ΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

伝熱面積 1.5 m²、U = 3000 W/(m²·K) の復水器の管の外側で、蒸気が一定の 140 °C で凝縮する。冷却水（2 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 15 °C で管に流入する。水の出口温度 Tc,out を求めよ。

Ts = 140 °CA = 1.5 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 2 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °C
Tc,out = °C

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 773 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(1.4·8) = 0.004464 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.96·8) = 0.009766 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 11/0.01423 = 773 W

答え

Q̇ = 773 W
2.熱伝導

答え: U = 1.06 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0.02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.17·8) = 0.07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.72·8) = 0.01736 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0.00625 K/W
ΣR = 0.118 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0.118) = 1.06 W/(m²·K)

答え

U = 1.06 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 34.87 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 120 − 105 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 105 − 30 = 75 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 75)/ln(15/75) = 37.28 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 390000/(300·37.28) = 34.87 m²

答え

A = 34.87 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: Tc,out = 67.03 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

エネルギー収支と伝熱速度の式を組み合わせる

ΔT₁ = Ts − Tc,in、ΔT₂ = Ts − Tc,out とすると、差 ΔT₁ − ΔT₂ は水の温度上昇に等しいので、温度上昇は消去されます。

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·1.5/(2·4180) = 0.5383

出口温度

ΔT₂ = ΔT₁·e−0.5383 = 125·0.5838 = 72.97 K
Tc,out = 140 − 72.97 = 67.03 °C

答え

Tc,out = 67.03 °C

伝熱量：Q̇ = 435 kW。

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