伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ガラス, k = 0.96100 mm石こうボード, k = 0.1775 mm23 °C-6 °CQ̇ = ?

壁はガラス 100 mm と石こうボード 75 mm からなり、面積は 12 m² である。外側の両面は 23 °C と -6 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 23 °CT3 = -6 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
石こうボード, k = 0.17250 mmロックウール, k = 0.04150 mm室内 22 °C屋外 -7 °CQ̇

250 mm の石こうボードと 150 mm のロックウールからなる壁が、22 °C の部屋と -7 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 8 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 4 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 250 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.04 W/(m·K)A = 4 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -7 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT100 °C25 °C55 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 100 °C で凝縮する。冷却水（0.5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、25 から 55 °C まで温まる。熱通過率は 2000 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 100 °Cṁ = 0.5 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 25 → 55 °CU = 2000 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT115 °C??25 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器で、両方の流体の熱容量流量は等しく ṁ·cp = 3 kW/K である。高温流体は 115 °C、低温流体は 25 °C で流入する。熱交換器の A = 2 m²、U = 800 W/(m²·K) である。高温側の出口温度 Th,out を求めよ。

Ch = Cc = 3 kW/KTh,in = 115 °CTc,in = 25 °CA = 2 m²U = 800 W/(m²·K)
Th,out = °C

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 638.1 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.96·12) = 0.008681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.17·12) = 0.03676 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 29/0.04545 = 638.1 W

答え

Q̇ = 638.1 W
2.熱伝導

答え: U = 0.1857 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·4) = 0.03125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0.17·4) = 0.3676 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.04·4) = 0.9375 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0.01 K/W
ΣR = 1.346 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·1.346) = 0.1857 W/(m²·K)

答え

U = 0.1857 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 0.5338 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 0.5·4.18·(55 − 25) = 62.7 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 100 − 25 = 75 K
ΔT₂ = 100 − 55 = 45 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 45)/ln(75/45) = 58.73 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 62700/(2000·58.73) = 0.5338 m²

答え

A = 0.5338 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: Th,out = 83.7 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

一定の温度差

低温側の出口は高温側の入口と向き合います：Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out)、したがって ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂。

ΔTlm = Th,out − Tc,in

エネルギー収支 = 伝熱速度の式

3·(115 − Th,out) = 1.6·(Th,out − 25)
Th,out = (3·115 + 1.6·25)/(3 + 1.6) = 83.7 °C

答え

Th,out = 83.7 °C

伝熱量：Q̇ = 93.91 kW。低温流体は 56.3 °C で流出します。

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