伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
コンクリート, k = 1.4100 mmガラス, k = 0.9650 mm19 °C-8 °CTi​ = ?Q̇

壁はコンクリート 100 mm とガラス 50 mm からなり、面積は 8 m² である。外側の両面は 19 °C と -8 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 19 °CT3 = -8 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
木材, k = 0.1750 mm発泡ポリスチレン, k = 0.03550 mm室内 21 °C屋外 -8 °CQ̇

50 mm の木材と 50 mm の発泡ポリスチレンからなる壁が、21 °C の部屋と -8 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 4 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 4 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -8 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT105 °C20 °C85 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 105 °C で凝縮する。冷却水（1.5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、20 から 85 °C まで温まる。熱通過率は 3000 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 105 °Cṁ = 1.5 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 85 °CU = 3000 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT150 °C85 °C44.44 °C25 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（0.5 kg/s、cp = 2.5 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 150 から 85 °C まで冷える。油は 25 °C で流入する水 1 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 500 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.5 kJ/(kg·K)Th: 150 → 85 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 3.386 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1.4·8) = 0.008929 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.96·8) = 0.00651 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 27/0.01544 = 1749 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 1749·0.008929 = 3.386 °C

答え

Ti = 3.386 °C
2.熱伝導

答え: U = 0.5256 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·4) = 0.03247 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.17·4) = 0.07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.035·4) = 0.3571 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0.0125 K/W
ΣR = 0.4756 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0.4756) = 0.5256 W/(m²·K)

答え

U = 0.5256 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 3.024 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 1.5·4.18·(85 − 20) = 407.5 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 105 − 20 = 85 K
ΔT₂ = 105 − 85 = 20 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 20)/ln(85/20) = 44.92 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 407550/(3000·44.92) = 3.024 m²

答え

A = 3.024 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 2.015 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0.5·2.5·65 = 81.25 kW
Tc,out = 25 + 81.25/(1·4.18) = 44.44 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 44.44 = 105.6 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 25 = 60 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105.6 − 60)/ln(105.6/60) = 80.65 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 81250/(500·80.65) = 2.015 m²

答え

A = 2.015 m²

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