伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
木材, k = 0.1750 mmコンクリート, k = 1.4100 mm19 °C-10 °CQ̇ = ?

壁は木材 50 mm とコンクリート 100 mm からなり、面積は 15 m² である。外側の両面は 19 °C と -10 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 19 °CT3 = -10 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
ガラス, k = 0.96250 mmコンクリート, k = 1.475 mm室内 20 °C屋外 -2 °CQ̇ = ?

250 mm のガラスと 75 mm のコンクリートからなる壁が、20 °C の部屋と -2 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 8 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 6 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 250 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 6 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -2 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT130 °C20 °C100 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 130 °C で凝縮する。冷却水（0.5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、20 から 100 °C まで温まる。熱通過率は 1000 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 130 °Cṁ = 0.5 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 100 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT85 °C55 °C36.91 °C10 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1.5 kg/s、cp = 2.5 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 85 から 55 °C まで冷える。油は 10 °C で流入する水 1 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 300 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.5 kJ/(kg·K)Th: 85 → 55 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 1190 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.17·15) = 0.01961 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1.4·15) = 0.004762 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 29/0.02437 = 1190 W

答え

Q̇ = 1190 W
2.熱伝導

答え: Q̇ = 279.5 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·6) = 0.02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0.96·6) = 0.0434 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1.4·6) = 0.008929 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0.005556 K/W
ΣR = 0.07872 K/W

熱損失

Q̇ = (20 − (-2))/0.07872 = 279.5 W

答え

Q̇ = 279.5 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 2.716 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 0.5·4.18·(100 − 20) = 167.2 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 130 − 20 = 110 K
ΔT₂ = 130 − 100 = 30 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 30)/ln(110/30) = 61.57 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 167200/(1000·61.57) = 2.716 m²

答え

A = 2.716 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 8.06 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1.5·2.5·30 = 112.5 kW
Tc,out = 10 + 112.5/(1·4.18) = 36.91 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 36.91 = 48.09 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 10 = 45 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (48.09 − 45)/ln(48.09/45) = 46.53 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 112500/(300·46.53) = 8.06 m²

答え

A = 8.06 m²

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