伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
石こうボード, k = 0.17100 mm発泡ポリスチレン, k = 0.03550 mm23 °C1 °CQ̇ = ?

壁は石こうボード 100 mm と発泡ポリスチレン 50 mm からなり、面積は 6 m² である。外側の両面は 23 °C と 1 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 23 °CT3 = 1 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
ガラス, k = 0.9650 mmれんが, k = 0.7225 mm室内 21 °C屋外 -14 °CTs​ = ?Q̇

50 mm のガラスと 25 mm のれんがからなる壁が、21 °C の部屋と -14 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 10 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 10 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 10 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -14 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT175 °C155 °C155 °C15 °CΔT₁ΔT₂向流

シェルアンドチューブ熱交換器（1 シェルパス、2 チューブパス）で 280 kW を伝えなければならない。高温流体は 175 から 155 °C まで冷え、低温流体は 15 から 155 °C まで温まる。この配置の LMTD 補正係数は F = 0.85、U = 800 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 280 kWF = 0.85U = 800 W/(m²·K)Th: 175 → 155 °CTc: 15 → 155 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT95 °C50 °C45.07 °C30 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（2 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 95 から 50 °C まで冷える。油は 30 °C で流入する水 3 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 1000 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 2 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 95 → 50 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 65.45 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.17·6) = 0.09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.035·6) = 0.2381 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 22/0.3361 = 65.45 W

答え

Q̇ = 65.45 W
2.熱伝導

答え: Ts = 5.101 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·10) = 0.01 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.96·10) = 0.005208 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0.72·10) = 0.003472 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·10) = 0.003333 K/W
ΣR = 0.02201 K/W

熱損失

Q̇ = (21 − (-14))/0.02201 = 1590 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 1590·0.01 = 5.101 °C

答え

Ts = 5.101 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 6.677 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

両端の温度差（向流）

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 175 − 155 = 20 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 155 − 15 = 140 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (20 − 140)/ln(20/140) = 61.67 K

面積

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 280000/(800·0.85·61.67) = 6.677 m²

答え

A = 6.677 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 5.777 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2.1·45 = 189 kW
Tc,out = 30 + 189/(3·4.18) = 45.07 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 45.07 = 49.93 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 30 = 20 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (49.93 − 20)/ln(49.93/20) = 32.71 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 189000/(1000·32.71) = 5.777 m²

答え

A = 5.777 m²

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