伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
コンクリート, k = 1.4150 mmれんが, k = 0.72100 mm20 °C-10 °CQ̇ = ?

壁はコンクリート 150 mm とれんが 100 mm からなり、面積は 12 m² である。外側の両面は 20 °C と -10 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 20 °CT3 = -10 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
発泡ポリスチレン, k = 0.035200 mmコンクリート, k = 1.450 mm室内 20 °C屋外 -1 °CQ̇ = ?

200 mm の発泡ポリスチレンと 50 mm のコンクリートからなる壁が、20 °C の部屋と -1 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 6 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 8 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -1 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT140 °C45 °C90 °C20 °CΔT₁ΔT₂向流

シェルアンドチューブ熱交換器（1 シェルパス、2 チューブパス）で 130 kW を伝えなければならない。高温流体は 140 から 45 °C まで冷え、低温流体は 20 から 90 °C まで温まる。この配置の LMTD 補正係数は F = 0.88、U = 800 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 130 kWF = 0.88U = 800 W/(m²·K)Th: 140 → 45 °CTc: 20 → 90 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT100 °C50 °C57.51 °C30 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1.5 kg/s、cp = 2.3 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 100 から 50 °C まで冷える。油は 30 °C で流入する水 1.5 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 200 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.3 kJ/(kg·K)Th: 100 → 50 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 1463 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1.4·12) = 0.008929 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.72·12) = 0.01157 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 30/0.0205 = 1463 W

答え

Q̇ = 1463 W
2.熱伝導

答え: Q̇ = 28.16 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0.02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.035·8) = 0.7143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1.4·8) = 0.004464 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0.00625 K/W
ΣR = 0.7458 K/W

熱損失

Q̇ = (20 − (-1))/0.7458 = 28.16 W

答え

Q̇ = 28.16 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 5.12 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

両端の温度差（向流）

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 90 = 50 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 20 = 25 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (50 − 25)/ln(50/25) = 36.07 K

面積

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 130000/(800·0.88·36.07) = 5.12 m²

答え

A = 5.12 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 28.9 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1.5·2.3·50 = 172.5 kW
Tc,out = 30 + 172.5/(1.5·4.18) = 57.51 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 57.51 = 42.49 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 30 = 20 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (42.49 − 20)/ln(42.49/20) = 29.85 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 172500/(200·29.85) = 28.9 m²

答え

A = 28.9 m²

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