伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
れんが, k = 0.72150 mmガラス, k = 0.9625 mm19 °C-13 °CQ̇ = ?

壁はれんが 150 mm とガラス 25 mm からなり、面積は 20 m² である。外側の両面は 19 °C と -13 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 19 °CT3 = -13 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
発泡ポリスチレン, k = 0.035150 mm石こうボード, k = 0.17150 mm室内 21 °C屋外 -3 °CQ̇ = ?

150 mm の発泡ポリスチレンと 150 mm の石こうボードからなる壁が、21 °C の部屋と -3 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 6 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 12 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 12 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -3 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT170 °C85 °C150 °C25 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 270 kW を伝える。 高温流体は 170 から 85 °C まで冷え、低温流体は 25 から 150 °C まで温まる。熱通過率は 1500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 270 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 170 → 85 °CTc: 25 → 150 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT180 °C70 °C35.18 °C15 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1 kg/s、cp = 2.3 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 180 から 70 °C まで冷える。油は 15 °C で流入する水 3 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 800 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.3 kJ/(kg·K)Th: 180 → 70 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 2731 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0.72·20) = 0.01042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0.96·20) = 0.001302 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0.01172 = 2731 W

答え

Q̇ = 2731 W
2.熱伝導

答え: Q̇ = 53.65 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·12) = 0.01389 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0.035·12) = 0.3571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.17·12) = 0.07353 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0.002778 K/W
ΣR = 0.4473 K/W

熱損失

Q̇ = (21 − (-3))/0.4473 = 53.65 W

答え

Q̇ = 53.65 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 4.944 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 170 − 150 = 20 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 25 = 60 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (20 − 60)/ln(20/60) = 36.41 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 270000/(1500·36.41) = 4.944 m²

答え

A = 4.944 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 3.409 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2.3·110 = 253 kW
Tc,out = 15 + 253/(3·4.18) = 35.18 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 180 − 35.18 = 144.8 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 15 = 55 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (144.8 − 55)/ln(144.8/55) = 92.78 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 253000/(800·92.78) = 3.409 m²

答え

A = 3.409 m²

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