伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ロックウール, k = 0.0450 mm発泡ポリスチレン, k = 0.035100 mm19 °C6 °CQ̇ = ?

壁はロックウール 50 mm と発泡ポリスチレン 100 mm からなり、面積は 12 m² である。外側の両面は 19 °C と 6 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 19 °CT3 = 6 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
発泡ポリスチレン, k = 0.03550 mmロックウール, k = 0.0450 mm室内 21 °C屋外 1 °CQ̇ = ?

50 mm の発泡ポリスチレンと 50 mm のロックウールからなる壁が、21 °C の部屋と 1 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 10 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.04 W/(m·K)A = 10 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 1 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT120 °C20 °C75 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 120 °C で凝縮する。冷却水（1.5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、20 から 75 °C まで温まる。熱通過率は 1500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 120 °Cṁ = 1.5 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 75 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT95 °C50 °C?10 °CΔT₁ΔT₂向流

向流二重管式熱交換器で、高温の油（0.5 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が内管を流れ、95 から 50 °C まで冷える。 環状部の水（0.5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 10 °C で流入する。内管の直径は 50 mm で、U = 300 W/(m²·K) はこの直径を基準とする。必要な管の長さ L を求めよ。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 95 → 50 °Cṁc = 0.5 kg/sTc,in = 10 °CD = 50 mmU = 300 W/(m²·K)
L = m

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 37.98 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.04·12) = 0.1042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.035·12) = 0.2381 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 13/0.3423 = 37.98 W

答え

Q̇ = 37.98 W
2.熱伝導

答え: Q̇ = 70.38 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·10) = 0.01299 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.035·10) = 0.1429 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.04·10) = 0.125 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·10) = 0.003333 K/W
ΣR = 0.2842 K/W

熱損失

Q̇ = (21 − (1))/0.2842 = 70.38 W

答え

Q̇ = 70.38 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 3.338 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 1.5·4.18·(75 − 20) = 344.8 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 120 − 20 = 100 K
ΔT₂ = 120 − 75 = 45 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 45)/ln(100/45) = 68.88 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 344850/(1500·68.88) = 3.338 m²

答え

A = 3.338 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: L = 19.91 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = 0.5·2.1·(95 − 50) = 47.25 kW
Tc,out = 10 + 47.25/(0.5·4.18) = 32.61 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 32.61 = 62.39 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 10 = 40 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (62.39 − 40)/ln(62.39/40) = 50.37 K

面積と長さ

A = 47250/(300·50.37) = 3.127 m²
L = A/(πD) = 3.127/(π·0.05) = 19.91 m

答え

L = 19.91 m

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