伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ガラス, k = 0.96100 mmロックウール, k = 0.0475 mm15 °C-7 °CTi​ = ?Q̇

壁はガラス 100 mm とロックウール 75 mm からなり、面積は 15 m² である。外側の両面は 15 °C と -7 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.04 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 15 °CT3 = -7 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
れんが, k = 0.72200 mm木材, k = 0.17150 mm室内 22 °C屋外 -8 °CQ̇

200 mm のれんがと 150 mm の木材からなる壁が、22 °C の部屋と -8 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 10 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 4 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -8 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT115 °C45 °C25 °C15 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 500 kW を伝える。 高温流体は 115 から 45 °C まで冷え、低温流体は 15 から 25 °C まで温まる。熱通過率は 500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 500 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 115 → 45 °CTc: 15 → 25 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT115 °C80 °C35.47 °C25 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1.5 kg/s、cp = 2.5 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 115 から 80 °C まで冷える。油は 25 °C で流入する水 3 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 300 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.5 kJ/(kg·K)Th: 115 → 80 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 13.84 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.96·15) = 0.006944 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.04·15) = 0.125 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 22/0.1319 = 166.7 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 166.7·0.006944 = 13.84 °C

答え

Ti = 13.84 °C
2.熱伝導

答え: U = 0.7692 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·4) = 0.025 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.72·4) = 0.06944 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.17·4) = 0.2206 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0.01 K/W
ΣR = 0.325 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0.325) = 0.7692 W/(m²·K)

答え

U = 0.7692 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 18.31 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 25 = 90 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 15 = 30 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 30)/ln(90/30) = 54.61 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 500000/(500·54.61) = 18.31 m²

答え

A = 18.31 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 6.578 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1.5·2.5·35 = 131.3 kW
Tc,out = 25 + 131.3/(3·4.18) = 35.47 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 35.47 = 79.53 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 25 = 55 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (79.53 − 55)/ln(79.53/55) = 66.51 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 131250/(300·66.51) = 6.578 m²

答え

A = 6.578 m²

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