伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ガラス, k = 0.96200 mm発泡ポリスチレン, k = 0.03550 mm24 °C-7 °CTi​ = ?Q̇

壁はガラス 200 mm と発泡ポリスチレン 50 mm からなり、面積は 12 m² である。外側の両面は 24 °C と -7 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 24 °CT3 = -7 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
コンクリート, k = 1.4250 mm木材, k = 0.1750 mm室内 21 °C屋外 -3 °CQ̇ = ?

250 mm のコンクリートと 50 mm の木材からなる壁が、21 °C の部屋と -3 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 8 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 250 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -3 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT120 °C40 °C25 °C15 °CΔT₁ΔT₂向流

シェルアンドチューブ熱交換器（1 シェルパス、2 チューブパス）で 370 kW を伝えなければならない。高温流体は 120 から 40 °C まで冷え、低温流体は 15 から 25 °C まで温まる。この配置の LMTD 補正係数は F = 0.85、U = 300 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 370 kWF = 0.85U = 300 W/(m²·K)Th: 120 → 40 °CTc: 15 → 25 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT105 °C20 °C?ΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

伝熱面積 2.5 m²、U = 1500 W/(m²·K) の復水器の管の外側で、蒸気が一定の 105 °C で凝縮する。冷却水（1 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 20 °C で管に流入する。水の出口温度 Tc,out を求めよ。

Ts = 105 °CA = 2.5 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °C
Tc,out = °C

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 20.05 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.96·12) = 0.01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.035·12) = 0.119 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0.1364 = 227.3 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 227.3·0.01736 = 20.05 °C

答え

Ti = 20.05 °C
2.熱伝導

答え: Q̇ = 301.9 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·8) = 0.01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1.4·8) = 0.02232 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.17·8) = 0.03676 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0.004167 K/W
ΣR = 0.07949 K/W

熱損失

Q̇ = (21 − (-3))/0.07949 = 301.9 W

答え

Q̇ = 301.9 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 27.67 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

両端の温度差（向流）

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 120 − 25 = 95 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 15 = 25 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 25)/ln(95/25) = 52.43 K

面積

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 370000/(300·0.85·52.43) = 27.67 m²

答え

A = 27.67 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: Tc,out = 70.34 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

エネルギー収支と伝熱速度の式を組み合わせる

ΔT₁ = Ts − Tc,in、ΔT₂ = Ts − Tc,out とすると、差 ΔT₁ − ΔT₂ は水の温度上昇に等しいので、温度上昇は消去されます。

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·2.5/(1·4180) = 0.8971

出口温度

ΔT₂ = ΔT₁·e−0.8971 = 85·0.4077 = 34.66 K
Tc,out = 105 − 34.66 = 70.34 °C

答え

Tc,out = 70.34 °C

伝熱量：Q̇ = 210.4 kW。

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