伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ガラス, k = 0.9650 mm石こうボード, k = 0.1750 mm22 °C4 °CQ̇ = ?

壁はガラス 50 mm と石こうボード 50 mm からなり、面積は 15 m² である。外側の両面は 22 °C と 4 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 22 °CT3 = 4 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
石こうボード, k = 0.1750 mmれんが, k = 0.72100 mm室内 20 °C屋外 4 °CQ̇

50 mm の石こうボードと 100 mm のれんがからなる壁が、20 °C の部屋と 4 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 6 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 15 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 15 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 4 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT110 °C55 °C90 °C25 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 410 kW を伝える。 高温流体は 110 から 55 °C まで冷え、低温流体は 25 から 90 °C まで温まる。熱通過率は 800 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 410 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 110 → 55 °CTc: 25 → 90 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT120 °C55 °C?15 °CΔT₁ΔT₂向流

向流二重管式熱交換器で、高温の油（0.2 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が内管を流れ、120 から 55 °C まで冷える。 環状部の水（0.3 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 15 °C で流入する。内管の直径は 50 mm で、U = 250 W/(m²·K) はこの直径を基準とする。必要な管の長さ L を求めよ。

ṁh = 0.2 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 120 → 55 °Cṁc = 0.3 kg/sTc,in = 15 °CD = 50 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 779.9 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.96·15) = 0.003472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.17·15) = 0.01961 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/0.02308 = 779.9 W

答え

Q̇ = 779.9 W
2.熱伝導

答え: U = 1.539 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·15) = 0.01111 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.17·15) = 0.01961 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.72·15) = 0.009259 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0.003333 K/W
ΣR = 0.04331 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0.04331) = 1.539 W/(m²·K)

答え

U = 1.539 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 20.78 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 90 = 20 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 25 = 30 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (20 − 30)/ln(20/30) = 24.66 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 410000/(800·24.66) = 20.78 m²

答え

A = 20.78 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: L = 11.78 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = 0.2·2.1·(120 − 55) = 27.3 kW
Tc,out = 15 + 27.3/(0.3·4.18) = 36.77 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 120 − 36.77 = 83.23 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 15 = 40 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (83.23 − 40)/ln(83.23/40) = 59 K

面積と長さ

A = 27300/(250·59) = 1.851 m²
L = A/(πD) = 1.851/(π·0.05) = 11.78 m

答え

L = 11.78 m

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