伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ロックウール, k = 0.0450 mmれんが, k = 0.72100 mm18 °C-7 °CTi​ = ?Q̇

壁はロックウール 50 mm とれんが 100 mm からなり、面積は 12 m² である。外側の両面は 18 °C と -7 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 18 °CT3 = -7 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
発泡ポリスチレン, k = 0.03550 mm石こうボード, k = 0.17150 mm室内 20 °C屋外 -14 °CQ̇

50 mm の発泡ポリスチレンと 150 mm の石こうボードからなる壁が、20 °C の部屋と -14 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 10 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 4 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -14 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT100 °C70 °C25 °C40 °CΔT₁ΔT₂並流

並流熱交換器が 360 kW を伝える。 高温流体は 100 から 70 °C まで冷え、低温流体は 25 から 40 °C まで温まる。熱通過率は 200 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 360 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 100 → 70 °CTc: 25 → 40 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT170 °C150 °C27.54 °C20 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1.5 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 170 から 150 °C まで冷える。油は 20 °C で流入する水 2 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 200 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 170 → 150 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = −4.5 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.04·12) = 0.1042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.72·12) = 0.01157 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 25/0.1157 = 216 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 216·0.1042 = −4.5 °C

答え

Ti = −4.5 °C
2.熱伝導

答え: U = 0.408 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·4) = 0.025 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.035·4) = 0.3571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.17·4) = 0.2206 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0.01 K/W
ΣR = 0.6127 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0.6127) = 0.408 W/(m²·K)

答え

U = 0.408 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 36.65 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 100 − 25 = 75 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 70 − 40 = 30 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 30)/ln(75/30) = 49.11 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 360000/(200·49.11) = 36.65 m²

答え

A = 36.65 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 2.314 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1.5·2.1·20 = 63 kW
Tc,out = 20 + 63/(2·4.18) = 27.54 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 170 − 27.54 = 142.5 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 150 − 20 = 130 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (142.5 − 130)/ln(142.5/130) = 136.1 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 63000/(200·136.1) = 2.314 m²

答え

A = 2.314 m²

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