伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
石こうボード, k = 0.17100 mm発泡ポリスチレン, k = 0.035150 mm20 °C6 °CTi​ = ?Q̇

壁は石こうボード 100 mm と発泡ポリスチレン 150 mm からなり、面積は 4 m² である。外側の両面は 20 °C と 6 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 20 °CT3 = 6 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
コンクリート, k = 1.4250 mmガラス, k = 0.96150 mm室内 20 °C屋外 3 °CTs​ = ?Q̇

250 mm のコンクリートと 150 mm のガラスからなる壁が、20 °C の部屋と 3 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 10 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 15 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 250 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 15 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 3 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT110 °C75 °C40 °C30 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 170 kW を伝える。 高温流体は 110 から 75 °C まで冷え、低温流体は 30 から 40 °C まで温まる。熱通過率は 200 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 170 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 110 → 75 °CTc: 30 → 40 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT130 °C95 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂並流

並流二重管式熱交換器で、高温の油（0.8 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が内管を流れ、130 から 95 °C まで冷える。 環状部の水（0.3 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 10 °C で流入する。内管の直径は 40 mm で、U = 150 W/(m²·K) はこの直径を基準とする。必要な管の長さ L を求めよ。

ṁh = 0.8 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 130 → 95 °Cṁc = 0.3 kg/sTc,in = 10 °CD = 40 mmU = 150 W/(m²·K)
L = m

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 18.31 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.17·4) = 0.1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.035·4) = 1.071 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/1.218 = 11.49 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 20 − 11.49·0.1471 = 18.31 °C

答え

Ti = 18.31 °C
2.熱伝導

答え: Ts = 16.37 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·15) = 0.006667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1.4·15) = 0.0119 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.96·15) = 0.01042 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0.002222 K/W
ΣR = 0.03121 K/W

熱損失

Q̇ = (20 − (3))/0.03121 = 544.7 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 544.7·0.006667 = 16.37 °C

答え

Ts = 16.37 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 15.02 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 40 = 70 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 30 = 45 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70 − 45)/ln(70/45) = 56.58 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 170000/(200·56.58) = 15.02 m²

答え

A = 15.02 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: L = 43.69 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = 0.8·2.1·(130 − 95) = 58.8 kW
Tc,out = 10 + 58.8/(0.3·4.18) = 56.89 °C

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 130 − 10 = 120 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 95 − 56.89 = 38.11 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120 − 38.11)/ln(120/38.11) = 71.39 K

面積と長さ

A = 58800/(150·71.39) = 5.491 m²
L = A/(πD) = 5.491/(π·0.04) = 43.69 m

答え

L = 43.69 m

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