伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ガラス, k = 0.96100 mm発泡ポリスチレン, k = 0.035150 mm17 °C-10 °CQ̇ = ?

壁はガラス 100 mm と発泡ポリスチレン 150 mm からなり、面積は 10 m² である。外側の両面は 17 °C と -10 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 17 °CT3 = -10 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
発泡ポリスチレン, k = 0.035250 mmコンクリート, k = 1.475 mm室内 20 °C屋外 -8 °CQ̇ = ?

250 mm の発泡ポリスチレンと 75 mm のコンクリートからなる壁が、20 °C の部屋と -8 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 10 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 250 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 10 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -8 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT100 °C25 °C85 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 100 °C で凝縮する。冷却水（3 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、25 から 85 °C まで温まる。熱通過率は 2500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 100 °Cṁ = 3 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 25 → 85 °CU = 2500 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT155 °C115 °C?10 °CΔT₁ΔT₂向流

向流二重管式熱交換器で、高温の油（0.8 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が内管を流れ、155 から 115 °C まで冷える。 環状部の水（0.8 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 10 °C で流入する。内管の直径は 32 mm で、U = 500 W/(m²·K) はこの直径を基準とする。必要な管の長さ L を求めよ。

ṁh = 0.8 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 155 → 115 °Cṁc = 0.8 kg/sTc,in = 10 °CD = 32 mmU = 500 W/(m²·K)
L = m

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 61.51 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.96·10) = 0.01042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.035·10) = 0.4286 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 27/0.439 = 61.51 W

答え

Q̇ = 61.51 W
2.熱伝導

答え: Q̇ = 37.96 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·10) = 0.01299 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0.035·10) = 0.7143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1.4·10) = 0.005357 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0.005 K/W
ΣR = 0.7376 K/W

熱損失

Q̇ = (20 − (-8))/0.7376 = 37.96 W

答え

Q̇ = 37.96 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 8.073 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 3·4.18·(85 − 25) = 752.4 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 100 − 25 = 75 K
ΔT₂ = 100 − 85 = 15 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 15)/ln(75/15) = 37.28 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 752400/(2500·37.28) = 8.073 m²

答え

A = 8.073 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: L = 11.66 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = 0.8·2.1·(155 − 115) = 67.2 kW
Tc,out = 10 + 67.2/(0.8·4.18) = 30.1 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 30.1 = 124.9 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 115 − 10 = 105 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (124.9 − 105)/ln(124.9/105) = 114.7 K

面積と長さ

A = 67200/(500·114.7) = 1.172 m²
L = A/(πD) = 1.172/(π·0.032) = 11.66 m

答え

L = 11.66 m

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