伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
れんが, k = 0.72100 mm木材, k = 0.1750 mm23 °C10 °CQ̇ = ?

壁はれんが 100 mm と木材 50 mm からなり、面積は 15 m² である。外側の両面は 23 °C と 10 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 23 °CT3 = 10 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
れんが, k = 0.72150 mmガラス, k = 0.9650 mm室内 21 °C屋外 -2 °CQ̇

150 mm のれんがと 50 mm のガラスからなる壁が、21 °C の部屋と -2 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 10 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 10 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -2 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT130 °C20 °C85 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 130 °C で凝縮する。冷却水（5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、20 から 85 °C まで温まる。熱通過率は 1500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 130 °Cṁ = 5 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 85 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT155 °C??20 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器で、両方の流体の熱容量流量は等しく ṁ·cp = 0.5 kW/K である。高温流体は 155 °C、低温流体は 20 °C で流入する。熱交換器の A = 4 m²、U = 500 W/(m²·K) である。高温側の出口温度 Th,out を求めよ。

Ch = Cc = 0.5 kW/KTh,in = 155 °CTc,in = 20 °CA = 4 m²U = 500 W/(m²·K)
Th,out = °C

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 450.3 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.72·15) = 0.009259 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.17·15) = 0.01961 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 13/0.02887 = 450.3 W

答え

Q̇ = 450.3 W
2.熱伝導

答え: U = 2.324 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·10) = 0.01299 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0.72·10) = 0.02083 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.96·10) = 0.005208 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0.004 K/W
ΣR = 0.04303 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0.04303) = 2.324 W/(m²·K)

答え

U = 2.324 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 12.45 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 5·4.18·(85 − 20) = 1359 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 130 − 20 = 110 K
ΔT₂ = 130 − 85 = 45 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 45)/ln(110/45) = 72.72 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 1.359 × 10⁶/(1500·72.72) = 12.45 m²

答え

A = 12.45 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: Th,out = 47 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

一定の温度差

低温側の出口は高温側の入口と向き合います：Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out)、したがって ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂。

ΔTlm = Th,out − Tc,in

エネルギー収支 = 伝熱速度の式

0.5·(155 − Th,out) = 2·(Th,out − 20)
Th,out = (0.5·155 + 2·20)/(0.5 + 2) = 47 °C

答え

Th,out = 47 °C

伝熱量：Q̇ = 54 kW。低温流体は 128 °C で流出します。

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