伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ガラス, k = 0.96150 mmロックウール, k = 0.0475 mm25 °C-12 °CTi​ = ?Q̇

壁はガラス 150 mm とロックウール 75 mm からなり、面積は 6 m² である。外側の両面は 25 °C と -12 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.04 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 25 °CT3 = -12 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
ガラス, k = 0.96100 mm発泡ポリスチレン, k = 0.035150 mm室内 22 °C屋外 -3 °CQ̇ = ?

100 mm のガラスと 150 mm の発泡ポリスチレンからなる壁が、22 °C の部屋と -3 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 10 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 4 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 4 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -3 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT105 °C45 °C20 °C40 °CΔT₁ΔT₂並流

並流熱交換器が 210 kW を伝える。 伝熱面積は 2 m² である。高温流体は 105 から 45 °C まで冷え、低温流体は 20 から 40 °C まで温まる。熱通過率 U を求めよ。

Q̇ = 210 kWA = 2 m²Th: 105 → 45 °CTc: 20 → 40 °C
U = W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT110 °C90 °C32.54 °C25 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1.5 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 110 から 90 °C まで冷える。油は 25 °C で流入する水 2 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 800 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 110 → 90 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 22.15 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0.96·6) = 0.02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.04·6) = 0.3125 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 37/0.3385 = 109.3 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 109.3·0.02604 = 22.15 °C

答え

Ti = 22.15 °C
2.熱伝導

答え: Q̇ = 22.08 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·4) = 0.025 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.96·4) = 0.02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.035·4) = 1.071 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0.01 K/W
ΣR = 1.132 K/W

熱損失

Q̇ = (22 − (-3))/1.132 = 22.08 W

答え

Q̇ = 22.08 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: U = 3719 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 105 − 20 = 85 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 45 − 40 = 5 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 5)/ln(85/5) = 28.24 K

熱通過率

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 210000/(2·28.24) = 3719 W/(m²·K)

答え

U = 3719 W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 1.108 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1.5·2.1·20 = 63 kW
Tc,out = 25 + 63/(2·4.18) = 32.54 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 32.54 = 77.46 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 25 = 65 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (77.46 − 65)/ln(77.46/65) = 71.05 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 63000/(800·71.05) = 1.108 m²

答え

A = 1.108 m²

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