伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ガラス, k = 0.96250 mm木材, k = 0.1775 mm25 °C-5 °CTi​ = ?Q̇

壁はガラス 250 mm と木材 75 mm からなり、面積は 6 m² である。外側の両面は 25 °C と -5 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 250 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 25 °CT3 = -5 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
ロックウール, k = 0.04100 mmコンクリート, k = 1.425 mm室内 22 °C屋外 -1 °CQ̇

100 mm のロックウールと 25 mm のコンクリートからなる壁が、22 °C の部屋と -1 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 15 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -1 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT80 °C35 °C10 °C25 °CΔT₁ΔT₂並流

並流熱交換器が 290 kW を伝える。 高温流体は 80 から 35 °C まで冷え、低温流体は 10 から 25 °C まで温まる。熱通過率は 1000 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 290 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 80 → 35 °CTc: 10 → 25 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT105 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

伝熱面積 8 m²、U = 3000 W/(m²·K) の復水器の管の外側で、蒸気が一定の 105 °C で凝縮する。冷却水（2 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 10 °C で管に流入する。水の出口温度 Tc,out を求めよ。

Ts = 105 °CA = 8 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 2 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 13.86 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0.96·6) = 0.0434 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.17·6) = 0.07353 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 30/0.1169 = 256.6 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 256.6·0.0434 = 13.86 °C

答え

Ti = 13.86 °C
2.熱伝導

答え: U = 0.3707 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·15) = 0.008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.04·15) = 0.1667 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1.4·15) = 0.00119 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0.003333 K/W
ΣR = 0.1798 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0.1798) = 0.3707 W/(m²·K)

答え

U = 0.3707 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 9.405 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 80 − 10 = 70 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 35 − 25 = 10 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70 − 10)/ln(70/10) = 30.83 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 290000/(1000·30.83) = 9.405 m²

答え

A = 9.405 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: Tc,out = 99.62 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

エネルギー収支と伝熱速度の式を組み合わせる

ΔT₁ = Ts − Tc,in、ΔT₂ = Ts − Tc,out とすると、差 ΔT₁ − ΔT₂ は水の温度上昇に等しいので、温度上昇は消去されます。

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·8/(2·4180) = 2.871

出口温度

ΔT₂ = ΔT₁·e−2.871 = 95·0.05665 = 5.382 K
Tc,out = 105 − 5.382 = 99.62 °C

答え

Tc,out = 99.62 °C

伝熱量：Q̇ = 749.2 kW。

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