伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
石こうボード, k = 0.17100 mmガラス, k = 0.9675 mm21 °C9 °CTi​ = ?Q̇

壁は石こうボード 100 mm とガラス 75 mm からなり、面積は 4 m² である。外側の両面は 21 °C と 9 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 21 °CT3 = 9 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
ガラス, k = 0.9650 mm木材, k = 0.1775 mm室内 21 °C屋外 -13 °CTs​ = ?Q̇

50 mm のガラスと 75 mm の木材からなる壁が、21 °C の部屋と -13 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 10 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 20 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 20 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -13 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT85 °C55 °C45 °C30 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 310 kW を伝える。 伝熱面積は 12 m² である。高温流体は 85 から 55 °C まで冷え、低温流体は 30 から 45 °C まで温まる。熱通過率 U を求めよ。

Q̇ = 310 kWA = 12 m²Th: 85 → 55 °CTc: 30 → 45 °C
U = W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT170 °C??30 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器で、両方の流体の熱容量流量は等しく ṁ·cp = 0.5 kW/K である。高温流体は 170 °C、低温流体は 30 °C で流入する。熱交換器の A = 2 m²、U = 200 W/(m²·K) である。高温側の出口温度 Th,out を求めよ。

Ch = Cc = 0.5 kW/KTh,in = 170 °CTc,in = 30 °CA = 2 m²U = 200 W/(m²·K)
Th,out = °C

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 10.41 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.17·4) = 0.1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.96·4) = 0.01953 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 12/0.1666 = 72.03 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 21 − 72.03·0.1471 = 10.41 °C

答え

Ti = 10.41 °C
2.熱伝導

答え: Ts = 15.57 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·20) = 0.005 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.96·20) = 0.002604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.17·20) = 0.02206 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0.001667 K/W
ΣR = 0.03133 K/W

熱損失

Q̇ = (21 − (-13))/0.03133 = 1085 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 1085·0.005 = 15.57 °C

答え

Ts = 15.57 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: U = 809.5 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 45 = 40 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 30 = 25 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (40 − 25)/ln(40/25) = 31.91 K

熱通過率

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 310000/(12·31.91) = 809.5 W/(m²·K)

答え

U = 809.5 W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)

答え: Th,out = 107.8 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

一定の温度差

低温側の出口は高温側の入口と向き合います：Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out)、したがって ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂。

ΔTlm = Th,out − Tc,in

エネルギー収支 = 伝熱速度の式

0.5·(170 − Th,out) = 0.4·(Th,out − 30)
Th,out = (0.5·170 + 0.4·30)/(0.5 + 0.4) = 107.8 °C

答え

Th,out = 107.8 °C

伝熱量：Q̇ = 31.11 kW。低温流体は 92.22 °C で流出します。

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