伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
木材, k = 0.17250 mm発泡ポリスチレン, k = 0.035100 mm25 °C3 °CTi​ = ?Q̇

壁は木材 250 mm と発泡ポリスチレン 100 mm からなり、面積は 15 m² である。外側の両面は 25 °C と 3 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 250 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 25 °CT3 = 3 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
ロックウール, k = 0.04150 mmれんが, k = 0.7250 mm室内 21 °C屋外 -13 °CTs​ = ?Q̇

150 mm のロックウールと 50 mm のれんがからなる壁が、21 °C の部屋と -13 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 10 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 0.04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 10 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -13 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT135 °C85 °C115 °C20 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 370 kW を伝える。 高温流体は 135 から 85 °C まで冷え、低温流体は 20 から 115 °C まで温まる。熱通過率は 300 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 370 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 135 → 85 °CTc: 20 → 115 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT150 °C130 °C53.92 °C30 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1 kg/s、cp = 2.5 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 150 から 130 °C まで冷える。油は 30 °C で流入する水 0.5 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 200 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.5 kJ/(kg·K)Th: 150 → 130 °Cṁc = 0.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 17.52 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0.17·15) = 0.09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.035·15) = 0.1905 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 22/0.2885 = 76.25 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 76.25·0.09804 = 17.52 °C

答え

Ti = 17.52 °C
2.熱伝導

答え: Ts = 19.89 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·10) = 0.01299 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0.04·10) = 0.375 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.72·10) = 0.006944 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·10) = 0.003333 K/W
ΣR = 0.3983 K/W

熱損失

Q̇ = (21 − (-13))/0.3983 = 85.37 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 85.37·0.01299 = 19.89 °C

答え

Ts = 19.89 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 32.3 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 115 = 20 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 20 = 65 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (20 − 65)/ln(20/65) = 38.18 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 370000/(300·38.18) = 32.3 m²

答え

A = 32.3 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 2.55 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2.5·20 = 50 kW
Tc,out = 30 + 50/(0.5·4.18) = 53.92 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 53.92 = 96.08 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 130 − 30 = 100 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (96.08 − 100)/ln(96.08/100) = 98.03 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 50000/(200·98.03) = 2.55 m²

答え

A = 2.55 m²

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