伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
コンクリート, k = 1.4250 mm木材, k = 0.17150 mm19 °C-2 °CTi​ = ?Q̇

壁はコンクリート 250 mm と木材 150 mm からなり、面積は 8 m² である。外側の両面は 19 °C と -2 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 250 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 19 °CT3 = -2 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
ガラス, k = 0.96150 mmロックウール, k = 0.04100 mm室内 20 °C屋外 -11 °CQ̇

150 mm のガラスと 100 mm のロックウールからなる壁が、20 °C の部屋と -11 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 8 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 20 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.04 W/(m·K)A = 20 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -11 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT90 °C40 °C30 °C15 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 180 kW を伝える。 高温流体は 90 から 40 °C まで冷え、低温流体は 15 から 30 °C まで温まる。熱通過率は 200 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 180 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 90 → 40 °CTc: 15 → 30 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT115 °C80 °C52.91 °C25 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（2 kg/s、cp = 2.5 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 115 から 80 °C まで冷える。油は 25 °C で流入する水 1.5 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 1000 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 2 kg/scp,h = 2.5 kJ/(kg·K)Th: 115 → 80 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 15.47 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1.4·8) = 0.02232 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.17·8) = 0.1103 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 21/0.1326 = 158.4 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 158.4·0.02232 = 15.47 °C

答え

Ti = 15.47 °C
2.熱伝導

答え: U = 0.3532 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·20) = 0.00625 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0.96·20) = 0.007813 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.04·20) = 0.125 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0.0025 K/W
ΣR = 0.1416 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0.1416) = 0.3532 W/(m²·K)

答え

U = 0.3532 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 22.51 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 30 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 15 = 25 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 25)/ln(60/25) = 39.98 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 180000/(200·39.98) = 22.51 m²

答え

A = 22.51 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 2.993 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2.5·35 = 175 kW
Tc,out = 25 + 175/(1.5·4.18) = 52.91 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 52.91 = 62.09 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 25 = 55 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (62.09 − 55)/ln(62.09/55) = 58.47 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 175000/(1000·58.47) = 2.993 m²

答え

A = 2.993 m²

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