伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ロックウール, k = 0.04100 mmガラス, k = 0.9650 mm18 °C9 °CQ̇ = ?

壁はロックウール 100 mm とガラス 50 mm からなり、面積は 8 m² である。外側の両面は 18 °C と 9 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 18 °CT3 = 9 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
コンクリート, k = 1.4200 mmロックウール, k = 0.0475 mm室内 22 °C屋外 -15 °CQ̇ = ?

200 mm のコンクリートと 75 mm のロックウールからなる壁が、22 °C の部屋と -15 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 6 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 15 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.04 W/(m·K)A = 15 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -15 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT105 °C20 °C45 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 105 °C で凝縮する。冷却水（1.5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、20 から 45 °C まで温まる。熱通過率は 2500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 105 °Cṁ = 1.5 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 45 °CU = 2500 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT130 °C25 °C?ΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

伝熱面積 1.5 m²、U = 2500 W/(m²·K) の復水器の管の外側で、蒸気が一定の 130 °C で凝縮する。冷却水（2 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 25 °C で管に流入する。水の出口温度 Tc,out を求めよ。

Ts = 130 °CA = 1.5 m²U = 2500 W/(m²·K)ṁ = 2 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °C
Tc,out = °C

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 28.21 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.04·8) = 0.3125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.96·8) = 0.00651 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 9/0.319 = 28.21 W

答え

Q̇ = 28.21 W
2.熱伝導

答え: Q̇ = 250.2 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·15) = 0.01111 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1.4·15) = 0.009524 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.04·15) = 0.125 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0.002222 K/W
ΣR = 0.1479 K/W

熱損失

Q̇ = (22 − (-15))/0.1479 = 250.2 W

答え

Q̇ = 250.2 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 0.8736 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 1.5·4.18·(45 − 20) = 156.8 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 105 − 20 = 85 K
ΔT₂ = 105 − 45 = 60 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 60)/ln(85/60) = 71.78 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 156750/(2500·71.78) = 0.8736 m²

答え

A = 0.8736 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: Tc,out = 62.95 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

エネルギー収支と伝熱速度の式を組み合わせる

ΔT₁ = Ts − Tc,in、ΔT₂ = Ts − Tc,out とすると、差 ΔT₁ − ΔT₂ は水の温度上昇に等しいので、温度上昇は消去されます。

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2500·1.5/(2·4180) = 0.4486

出口温度

ΔT₂ = ΔT₁·e−0.4486 = 105·0.6385 = 67.05 K
Tc,out = 130 − 67.05 = 62.95 °C

答え

Tc,out = 62.95 °C

伝熱量：Q̇ = 317.3 kW。

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