伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ガラス, k = 0.9650 mm発泡ポリスチレン, k = 0.03550 mm22 °C-1 °CTi​ = ?Q̇

壁はガラス 50 mm と発泡ポリスチレン 50 mm からなり、面積は 10 m² である。外側の両面は 22 °C と -1 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 22 °CT3 = -1 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
れんが, k = 0.7250 mmガラス, k = 0.96150 mm室内 20 °C屋外 -1 °CQ̇

50 mm のれんがと 150 mm のガラスからなる壁が、20 °C の部屋と -1 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 6 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 6 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -1 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT110 °C20 °C35 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 110 °C で凝縮する。冷却水（2 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、20 から 35 °C まで温まる。熱通過率は 3500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 110 °Cṁ = 2 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 20 → 35 °CU = 3500 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT120 °C85 °C?25 °CΔT₁ΔT₂向流

向流二重管式熱交換器で、高温の油（0.2 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が内管を流れ、120 から 85 °C まで冷える。 環状部の水（0.3 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 25 °C で流入する。内管の直径は 50 mm で、U = 250 W/(m²·K) はこの直径を基準とする。必要な管の長さ L を求めよ。

ṁh = 0.2 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 120 → 85 °Cṁc = 0.3 kg/sTc,in = 25 °CD = 50 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 21.19 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.96·10) = 0.005208 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.035·10) = 0.1429 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 23/0.1481 = 155.3 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 155.3·0.005208 = 21.19 °C

答え

Ti = 21.19 °C
2.熱伝導

答え: U = 2.466 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·6) = 0.02165 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.72·6) = 0.01157 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.96·6) = 0.02604 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·6) = 0.008333 K/W
ΣR = 0.06759 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(6·0.06759) = 2.466 W/(m²·K)

答え

U = 2.466 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 0.4355 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 2·4.18·(35 − 20) = 125.4 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 110 − 20 = 90 K
ΔT₂ = 110 − 35 = 75 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 75)/ln(90/75) = 82.27 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 125400/(3500·82.27) = 0.4355 m²

答え

A = 0.4355 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: L = 5.272 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = 0.2·2.1·(120 − 85) = 14.7 kW
Tc,out = 25 + 14.7/(0.3·4.18) = 36.72 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 120 − 36.72 = 83.28 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 25 = 60 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (83.28 − 60)/ln(83.28/60) = 71 K

面積と長さ

A = 14700/(250·71) = 0.8281 m²
L = A/(πD) = 0.8281/(π·0.05) = 5.272 m

答え

L = 5.272 m

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