伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
石こうボード, k = 0.17100 mmガラス, k = 0.96100 mm24 °C-1 °CTi​ = ?Q̇

壁は石こうボード 100 mm とガラス 100 mm からなり、面積は 12 m² である。外側の両面は 24 °C と -1 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 24 °CT3 = -1 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
ガラス, k = 0.96100 mmれんが, k = 0.72150 mm室内 20 °C屋外 -12 °CTs​ = ?Q̇

100 mm のガラスと 150 mm のれんがからなる壁が、20 °C の部屋と -12 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 8 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 12 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 12 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -12 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT120 °C10 °C70 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 120 °C で凝縮する。冷却水（2 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、10 から 70 °C まで温まる。熱通過率は 3000 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 120 °Cṁ = 2 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 70 °CU = 3000 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT115 °C55 °C47.61 °C25 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1.5 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 115 から 55 °C まで冷える。油は 25 °C で流入する水 2 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 1000 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 115 → 55 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 2.761 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.17·12) = 0.04902 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.96·12) = 0.008681 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 25/0.0577 = 433.3 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 433.3·0.04902 = 2.761 °C

答え

Ti = 2.761 °C
2.熱伝導

答え: Ts = 11.5 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·12) = 0.01042 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.96·12) = 0.008681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.72·12) = 0.01736 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0.002778 K/W
ΣR = 0.03924 K/W

熱損失

Q̇ = (20 − (-12))/0.03924 = 815.6 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 815.6·0.01042 = 11.5 °C

答え

Ts = 11.5 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 2.197 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 2·4.18·(70 − 10) = 501.6 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 120 − 10 = 110 K
ΔT₂ = 120 − 70 = 50 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 50)/ln(110/50) = 76.1 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 501600/(3000·76.1) = 2.197 m²

答え

A = 2.197 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 4.091 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1.5·2.1·60 = 189 kW
Tc,out = 25 + 189/(2·4.18) = 47.61 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 47.61 = 67.39 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 25 = 30 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (67.39 − 30)/ln(67.39/30) = 46.2 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 189000/(1000·46.2) = 4.091 m²

答え

A = 4.091 m²

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