伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
木材, k = 0.17150 mmロックウール, k = 0.0425 mm17 °C9 °CQ̇ = ?

壁は木材 150 mm とロックウール 25 mm からなり、面積は 6 m² である。外側の両面は 17 °C と 9 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0.04 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 17 °CT3 = 9 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
コンクリート, k = 1.4250 mmロックウール, k = 0.04150 mm室内 21 °C屋外 1 °CQ̇

250 mm のコンクリートと 150 mm のロックウールからなる壁が、21 °C の部屋と 1 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 8 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 8 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 250 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.04 W/(m·K)A = 8 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 1 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT165 °C65 °C35 °C10 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 320 kW を伝える。 高温流体は 165 から 65 °C まで冷え、低温流体は 10 から 35 °C まで温まる。熱通過率は 1000 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 320 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 165 → 65 °CTc: 10 → 35 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT140 °C85 °C?20 °CΔT₁ΔT₂向流

向流二重管式熱交換器で、高温の油（0.2 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が内管を流れ、140 から 85 °C まで冷える。 環状部の水（0.3 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 20 °C で流入する。内管の直径は 32 mm で、U = 300 W/(m²·K) はこの直径を基準とする。必要な管の長さ L を求めよ。

ṁh = 0.2 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 140 → 85 °Cṁc = 0.3 kg/sTc,in = 20 °CD = 32 mmU = 300 W/(m²·K)
L = m

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 31.84 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0.17·6) = 0.1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0.04·6) = 0.1042 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 8/0.2512 = 31.84 W

答え

Q̇ = 31.84 W
2.熱伝導

答え: U = 0.2437 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·8) = 0.01563 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1.4·8) = 0.02232 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.04·8) = 0.4688 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0.00625 K/W
ΣR = 0.5129 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0.5129) = 0.2437 W/(m²·K)

答え

U = 0.2437 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 3.67 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 165 − 35 = 130 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 10 = 55 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (130 − 55)/ln(130/55) = 87.19 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 320000/(1000·87.19) = 3.67 m²

答え

A = 3.67 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: L = 9.348 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = 0.2·2.1·(140 − 85) = 23.1 kW
Tc,out = 20 + 23.1/(0.3·4.18) = 38.42 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 38.42 = 101.6 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 20 = 65 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (101.6 − 65)/ln(101.6/65) = 81.93 K

面積と長さ

A = 23100/(300·81.93) = 0.9398 m²
L = A/(πD) = 0.9398/(π·0.032) = 9.348 m

答え

L = 9.348 m

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