伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
木材, k = 0.1750 mm発泡ポリスチレン, k = 0.03525 mm25 °C5 °CQ̇ = ?

壁は木材 50 mm と発泡ポリスチレン 25 mm からなり、面積は 6 m² である。外側の両面は 25 °C と 5 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 25 °CT3 = 5 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
石こうボード, k = 0.17250 mm発泡ポリスチレン, k = 0.035100 mm室内 22 °C屋外 -9 °CTs​ = ?Q̇

250 mm の石こうボードと 100 mm の発泡ポリスチレンからなる壁が、22 °C の部屋と -9 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 6 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 10 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 250 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -9 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT115 °C90 °C40 °C25 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 90 kW を伝える。 高温流体は 115 から 90 °C まで冷え、低温流体は 25 から 40 °C まで温まる。熱通過率は 800 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 90 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 115 → 90 °CTc: 25 → 40 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT140 °C50 °C55.14 °C25 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（2 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 140 から 50 °C まで冷える。油は 25 °C で流入する水 3 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 500 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 2 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 140 → 50 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 119 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.17·6) = 0.04902 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0.035·6) = 0.119 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0.1681 = 119 W

答え

Q̇ = 119 W
2.熱伝導

答え: Ts = 20.86 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0.01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0.17·10) = 0.1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.035·10) = 0.2857 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·10) = 0.003333 K/W
ΣR = 0.4528 K/W

熱損失

Q̇ = (22 − (-9))/0.4528 = 68.47 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 68.47·0.01667 = 20.86 °C

答え

Ts = 20.86 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 1.61 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 40 = 75 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 25 = 65 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 65)/ln(75/65) = 69.88 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 90000/(800·69.88) = 1.61 m²

答え

A = 1.61 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 15.44 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2.1·90 = 378 kW
Tc,out = 25 + 378/(3·4.18) = 55.14 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 55.14 = 84.86 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 25 = 25 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (84.86 − 25)/ln(84.86/25) = 48.98 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 378000/(500·48.98) = 15.44 m²

答え

A = 15.44 m²

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