伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
れんが, k = 0.72150 mm石こうボード, k = 0.17100 mm19 °C7 °CQ̇ = ?

壁はれんが 150 mm と石こうボード 100 mm からなり、面積は 20 m² である。外側の両面は 19 °C と 7 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 19 °CT3 = 7 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
木材, k = 0.17250 mmれんが, k = 0.7250 mm室内 20 °C屋外 -12 °CQ̇

250 mm の木材と 50 mm のれんがからなる壁が、20 °C の部屋と -12 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 10 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 250 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 10 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -12 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT140 °C10 °C35 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 140 °C で凝縮する。冷却水（5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、10 から 35 °C まで温まる。熱通過率は 2000 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 140 °Cṁ = 5 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 35 °CU = 2000 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT140 °C70 °C?15 °CΔT₁ΔT₂向流

向流二重管式熱交換器で、高温の油（0.2 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が内管を流れ、140 から 70 °C まで冷える。 環状部の水（0.2 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 15 °C で流入する。内管の直径は 50 mm で、U = 200 W/(m²·K) はこの直径を基準とする。必要な管の長さ L を求めよ。

ṁh = 0.2 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 140 → 70 °Cṁc = 0.2 kg/sTc,in = 15 °CD = 50 mmU = 200 W/(m²·K)
L = m

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 301.3 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0.72·20) = 0.01042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.17·20) = 0.02941 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 12/0.03983 = 301.3 W

答え

Q̇ = 301.3 W
2.熱伝導

答え: U = 0.5848 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·10) = 0.01299 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0.17·10) = 0.1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.72·10) = 0.006944 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0.004 K/W
ΣR = 0.171 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0.171) = 0.5848 W/(m²·K)

答え

U = 0.5848 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 2.232 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 5·4.18·(35 − 10) = 522.5 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 140 − 10 = 130 K
ΔT₂ = 140 − 35 = 105 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (130 − 105)/ln(130/105) = 117.1 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 522500/(2000·117.1) = 2.232 m²

答え

A = 2.232 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: L = 13.18 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = 0.2·2.1·(140 − 70) = 29.4 kW
Tc,out = 15 + 29.4/(0.2·4.18) = 50.17 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 50.17 = 89.83 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 15 = 55 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (89.83 − 55)/ln(89.83/55) = 71 K

面積と長さ

A = 29400/(200·71) = 2.07 m²
L = A/(πD) = 2.07/(π·0.05) = 13.18 m

答え

L = 13.18 m

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