伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
コンクリート, k = 1.4100 mmロックウール, k = 0.0475 mm21 °C8 °CQ̇ = ?

壁はコンクリート 100 mm とロックウール 75 mm からなり、面積は 20 m² である。外側の両面は 21 °C と 8 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.04 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 21 °CT3 = 8 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
発泡ポリスチレン, k = 0.035150 mmロックウール, k = 0.04100 mm室内 22 °C屋外 -2 °CTs​ = ?Q̇

150 mm の発泡ポリスチレンと 100 mm のロックウールからなる壁が、22 °C の部屋と -2 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 8 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.04 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -2 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT160 °C135 °C85 °C30 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 170 kW を伝える。 高温流体は 160 から 135 °C まで冷え、低温流体は 30 から 85 °C まで温まる。熱通過率は 1000 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 170 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 160 → 135 °CTc: 30 → 85 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT155 °C40 °C67.78 °C10 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1.5 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 155 から 40 °C まで冷える。油は 10 °C で流入する水 1.5 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 500 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 155 → 40 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 133.6 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1.4·20) = 0.003571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.04·20) = 0.09375 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 13/0.09732 = 133.6 W

答え

Q̇ = 133.6 W
2.熱伝導

答え: Ts = 21.55 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·8) = 0.01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0.035·8) = 0.5357 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.04·8) = 0.3125 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0.005 K/W
ΣR = 0.8694 K/W

熱損失

Q̇ = (22 − (-2))/0.8694 = 27.6 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 27.6·0.01623 = 21.55 °C

答え

Ts = 21.55 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 1.907 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 85 = 75 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 135 − 30 = 105 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 105)/ln(75/105) = 89.16 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 170000/(1000·89.16) = 1.907 m²

答え

A = 1.907 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 13.51 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1.5·2.1·115 = 362.3 kW
Tc,out = 10 + 362.3/(1.5·4.18) = 67.78 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 67.78 = 87.22 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 10 = 30 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (87.22 − 30)/ln(87.22/30) = 53.62 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 362250/(500·53.62) = 13.51 m²

答え

A = 13.51 m²

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