伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ガラス, k = 0.96100 mm石こうボード, k = 0.17100 mm17 °C7 °CTi​ = ?Q̇

壁はガラス 100 mm と石こうボード 100 mm からなり、面積は 6 m² である。外側の両面は 17 °C と 7 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 17 °CT3 = 7 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
コンクリート, k = 1.4150 mm木材, k = 0.1750 mm室内 20 °C屋外 -8 °CQ̇

150 mm のコンクリートと 50 mm の木材からなる壁が、20 °C の部屋と -8 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 15 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -8 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT100 °C70 °C90 °C10 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 140 kW を伝える。 高温流体は 100 から 70 °C まで冷え、低温流体は 10 から 90 °C まで温まる。熱通過率は 1500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 140 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 100 → 70 °CTc: 10 → 90 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT130 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

伝熱面積 2.5 m²、U = 1500 W/(m²·K) の復水器の管の外側で、蒸気が一定の 130 °C で凝縮する。冷却水（0.5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 10 °C で管に流入する。水の出口温度 Tc,out を求めよ。

Ts = 130 °CA = 2.5 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 0.5 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C
Tc,out = °C

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 15.5 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.96·6) = 0.01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.17·6) = 0.09804 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 10/0.1154 = 86.65 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 86.65·0.01736 = 15.5 °C

答え

Ti = 15.5 °C
2.熱伝導

答え: U = 1.751 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·15) = 0.008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1.4·15) = 0.007143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.17·15) = 0.01961 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0.002667 K/W
ΣR = 0.03808 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0.03808) = 1.751 W/(m²·K)

答え

U = 1.751 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 3.345 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 90 = 10 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 10 = 60 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (10 − 60)/ln(10/60) = 27.91 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 140000/(1500·27.91) = 3.345 m²

答え

A = 3.345 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: Tc,out = 110 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

エネルギー収支と伝熱速度の式を組み合わせる

ΔT₁ = Ts − Tc,in、ΔT₂ = Ts − Tc,out とすると、差 ΔT₁ − ΔT₂ は水の温度上昇に等しいので、温度上昇は消去されます。

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·2.5/(0.5·4180) = 1.794

出口温度

ΔT₂ = ΔT₁·e−1.794 = 120·0.1663 = 19.95 K
Tc,out = 130 − 19.95 = 110 °C

答え

Tc,out = 110 °C

伝熱量：Q̇ = 209.1 kW。

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