伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ガラス, k = 0.9650 mm発泡ポリスチレン, k = 0.03550 mm21 °C-8 °CQ̇ = ?

壁はガラス 50 mm と発泡ポリスチレン 50 mm からなり、面積は 12 m² である。外側の両面は 21 °C と -8 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 21 °CT3 = -8 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
コンクリート, k = 1.4250 mmロックウール, k = 0.0475 mm室内 22 °C屋外 2 °CQ̇ = ?

250 mm のコンクリートと 75 mm のロックウールからなる壁が、22 °C の部屋と 2 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 6 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 15 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 250 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.04 W/(m·K)A = 15 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 2 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT140 °C90 °C10 °C35 °CΔT₁ΔT₂並流

並流熱交換器が 380 kW を伝える。 高温流体は 140 から 90 °C まで冷え、低温流体は 10 から 35 °C まで温まる。熱通過率は 300 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 380 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 140 → 90 °CTc: 10 → 35 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT100 °C55 °C92.82 °C25 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1.5 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 100 から 55 °C まで冷える。油は 25 °C で流入する水 0.5 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 300 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 100 → 55 °Cṁc = 0.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 235 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.96·12) = 0.00434 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.035·12) = 0.119 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 29/0.1234 = 235 W

答え

Q̇ = 235 W
2.熱伝導

答え: Q̇ = 132.7 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·15) = 0.01111 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1.4·15) = 0.0119 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.04·15) = 0.125 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0.002667 K/W
ΣR = 0.1507 K/W

熱損失

Q̇ = (22 − (2))/0.1507 = 132.7 W

答え

Q̇ = 132.7 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 14.53 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 140 − 10 = 130 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 90 − 35 = 55 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (130 − 55)/ln(130/55) = 87.19 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 380000/(300·87.19) = 14.53 m²

答え

A = 14.53 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 29.61 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1.5·2.1·45 = 141.8 kW
Tc,out = 25 + 141.8/(0.5·4.18) = 92.82 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 92.82 = 7.177 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 25 = 30 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (7.177 − 30)/ln(7.177/30) = 15.96 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 141750/(300·15.96) = 29.61 m²

答え

A = 29.61 m²

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