伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
れんが, k = 0.72200 mmガラス, k = 0.9650 mm16 °C2 °CTi​ = ?Q̇

壁はれんが 200 mm とガラス 50 mm からなり、面積は 4 m² である。外側の両面は 16 °C と 2 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 16 °CT3 = 2 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
発泡ポリスチレン, k = 0.035200 mmコンクリート, k = 1.425 mm室内 21 °C屋外 -6 °CTs​ = ?Q̇

200 mm の発泡ポリスチレンと 25 mm のコンクリートからなる壁が、21 °C の部屋と -6 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 6 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 10 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -6 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT160 °C95 °C130 °C10 °CΔT₁ΔT₂向流

シェルアンドチューブ熱交換器（1 シェルパス、2 チューブパス）で 510 kW を伝えなければならない。高温流体は 160 から 95 °C まで冷え、低温流体は 10 から 130 °C まで温まる。この配置の LMTD 補正係数は F = 0.95、U = 800 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 510 kWF = 0.95U = 800 W/(m²·K)Th: 160 → 95 °CTc: 10 → 130 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT175 °C90 °C80.84 °C30 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1.5 kg/s、cp = 2.5 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 175 から 90 °C まで冷える。油は 30 °C で流入する水 1.5 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 300 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.5 kJ/(kg·K)Th: 175 → 90 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 4.211 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.72·4) = 0.06944 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.96·4) = 0.01302 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/0.08247 = 169.8 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 169.8·0.06944 = 4.211 °C

答え

Ti = 4.211 °C
2.熱伝導

答え: Ts = 20.24 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0.01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.035·10) = 0.5714 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1.4·10) = 0.001786 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0.004 K/W
ΣR = 0.5939 K/W

熱損失

Q̇ = (21 − (-6))/0.5939 = 45.46 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 45.46·0.01667 = 20.24 °C

答え

Ts = 20.24 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 12.71 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

両端の温度差（向流）

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 130 = 30 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 95 − 10 = 85 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (30 − 85)/ln(30/85) = 52.81 K

面積

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 510000/(800·0.95·52.81) = 12.71 m²

答え

A = 12.71 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 14.02 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1.5·2.5·85 = 318.8 kW
Tc,out = 30 + 318.8/(1.5·4.18) = 80.84 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 175 − 80.84 = 94.16 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 30 = 60 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (94.16 − 60)/ln(94.16/60) = 75.8 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 318750/(300·75.8) = 14.02 m²

答え

A = 14.02 m²

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