熱伝導
- フーリエの法則
- Q̇ = kAΔT/L
- 熱伝導抵抗
- R = L/(kA)
- 対流熱抵抗
- R = 1/(hA)
- 直列の熱抵抗
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U 値
- U = 1/(ΣR·A)
伝熱工学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
熱交換器 (LMTD)
- 交換熱量
- Q = U·A·ΔTlm
- 対数平均温度差
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- 流体ごとの熱収支
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2演習問題
1.熱伝導ふつう
壁はれんが 50 mm とガラス 75 mm からなり、面積は 15 m² である。外側の両面は 22 °C と -14 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。
L1 = 50 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 22 °CT3 = -14 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
150 mm の木材と 100 mm のロックウールからなる壁が、22 °C の部屋と -12 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 10 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 4 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。
L1 = 150 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.04 W/(m·K)A = 4 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -12 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
向流熱交換器が 70 kW を伝える。 高温流体は 110 から 95 °C まで冷え、低温流体は 10 から 50 °C まで温まる。熱通過率は 300 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。
Q̇ = 70 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 110 → 95 °CTc: 10 → 50 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
高温の油（0.5 kg/s、cp = 2.5 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 120 から 40 °C まで冷える。油は 10 °C で流入する水 1.5 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 800 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。
ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.5 kJ/(kg·K)Th: 120 → 40 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²
3溶液
1.熱伝導
答え: Ti = 5.059 °C
熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。
各層の熱抵抗
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.72·15) = 0.00463 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.96·15) = 0.005208 K/W
熱流量
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 36/0.009838 = 3659 W
境界面温度
最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。
Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 3659·0.00463 = 5.059 °C
答え
Ti = 5.059 °C
2.熱伝導
答え: Q̇ = 38.5 W
熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。
直列の熱抵抗
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·4) = 0.025 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0.17·4) = 0.2206 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.04·4) = 0.625 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0.0125 K/W
ΣR = 0.8831 K/W
熱損失
Q̇ = (22 − (-12))/0.8831 = 38.5 W
答え
Q̇ = 38.5 W
3.熱交換器 (LMTD)
答え: A = 3.251 m²
LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。
両端の温度差
向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 50 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 95 − 10 = 85 K
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 85)/ln(60/85) = 71.78 K
面積
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 70000/(300·71.78) = 3.251 m²
答え
A = 3.251 m²
4.熱交換器 (LMTD)
答え: A = 2.23 m²
LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。
熱負荷と水の出口温度
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0.5·2.5·80 = 100 kW
Tc,out = 10 + 100/(1.5·4.18) = 25.95 °C
両端の温度差
向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 120 − 25.95 = 94.05 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 10 = 30 K
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (94.05 − 30)/ln(94.05/30) = 56.06 K
面積
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 100000/(800·56.06) = 2.23 m²
答え
A = 2.23 m²
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