伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ガラス, k = 0.96200 mmコンクリート, k = 1.425 mm16 °C1 °CQ̇ = ?

壁はガラス 200 mm とコンクリート 25 mm からなり、面積は 6 m² である。外側の両面は 16 °C と 1 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 16 °CT3 = 1 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
コンクリート, k = 1.4100 mm石こうボード, k = 0.17150 mm室内 22 °C屋外 -12 °CQ̇

100 mm のコンクリートと 150 mm の石こうボードからなる壁が、22 °C の部屋と -12 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 6 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 4 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 4 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -12 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT135 °C105 °C30 °C20 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 370 kW を伝える。 高温流体は 135 から 105 °C まで冷え、低温流体は 20 から 30 °C まで温まる。熱通過率は 1000 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 370 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 135 → 105 °CTc: 20 → 30 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT115 °C60 °C50.26 °C20 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（2 kg/s、cp = 2.3 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 115 から 60 °C まで冷える。油は 20 °C で流入する水 2 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 500 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 2 kg/scp,h = 2.3 kJ/(kg·K)Th: 115 → 60 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 397.9 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.96·6) = 0.03472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1.4·6) = 0.002976 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 15/0.0377 = 397.9 W

答え

Q̇ = 397.9 W
2.熱伝導

答え: U = 0.8544 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·4) = 0.04167 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1.4·4) = 0.01786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.17·4) = 0.2206 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0.0125 K/W
ΣR = 0.2926 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·0.2926) = 0.8544 W/(m²·K)

答え

U = 0.8544 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 3.909 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 30 = 105 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 105 − 20 = 85 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 85)/ln(105/85) = 94.65 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 370000/(1000·94.65) = 3.909 m²

答え

A = 3.909 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 9.848 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2.3·55 = 253 kW
Tc,out = 20 + 253/(2·4.18) = 50.26 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 50.26 = 64.74 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 20 = 40 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (64.74 − 40)/ln(64.74/40) = 51.38 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 253000/(500·51.38) = 9.848 m²

答え

A = 9.848 m²

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