伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
発泡ポリスチレン, k = 0.03550 mm石こうボード, k = 0.1750 mm19 °C-4 °CTi​ = ?Q̇

壁は発泡ポリスチレン 50 mm と石こうボード 50 mm からなり、面積は 8 m² である。外側の両面は 19 °C と -4 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 19 °CT3 = -4 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
れんが, k = 0.72200 mmガラス, k = 0.9650 mm室内 22 °C屋外 1 °CQ̇ = ?

200 mm のれんがと 50 mm のガラスからなる壁が、22 °C の部屋と 1 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 10 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 12 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 12 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 1 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT150 °C115 °C85 °C25 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 180 kW を伝える。 伝熱面積は 12 m² である。高温流体は 150 から 115 °C まで冷え、低温流体は 25 から 85 °C まで温まる。熱通過率 U を求めよ。

Q̇ = 180 kWA = 12 m²Th: 150 → 115 °CTc: 25 → 85 °C
U = W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT120 °C??10 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器で、両方の流体の熱容量流量は等しく ṁ·cp = 0.5 kW/K である。高温流体は 120 °C、低温流体は 10 °C で流入する。熱交換器の A = 4 m²、U = 300 W/(m²·K) である。高温側の出口温度 Th,out を求めよ。

Ch = Cc = 0.5 kW/KTh,in = 120 °CTc,in = 10 °CA = 4 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = −0.07317 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.035·8) = 0.1786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.17·8) = 0.03676 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 23/0.2153 = 106.8 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 106.8·0.1786 = −0.07317 °C

答え

Ti = −0.07317 °C
2.熱伝導

答え: Q̇ = 544 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·12) = 0.008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.72·12) = 0.02315 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.96·12) = 0.00434 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·12) = 0.002778 K/W
ΣR = 0.0386 K/W

熱損失

Q̇ = (22 − (1))/0.0386 = 544 W

答え

Q̇ = 544 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: U = 195.3 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 85 = 65 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 115 − 25 = 90 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (65 − 90)/ln(65/90) = 76.82 K

熱通過率

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 180000/(12·76.82) = 195.3 W/(m²·K)

答え

U = 195.3 W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)

答え: Th,out = 42.35 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

一定の温度差

低温側の出口は高温側の入口と向き合います：Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out)、したがって ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂。

ΔTlm = Th,out − Tc,in

エネルギー収支 = 伝熱速度の式

0.5·(120 − Th,out) = 1.2·(Th,out − 10)
Th,out = (0.5·120 + 1.2·10)/(0.5 + 1.2) = 42.35 °C

答え

Th,out = 42.35 °C

伝熱量：Q̇ = 38.82 kW。低温流体は 87.65 °C で流出します。

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