伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
れんが, k = 0.72100 mm石こうボード, k = 0.1775 mm20 °C10 °CQ̇ = ?

壁はれんが 100 mm と石こうボード 75 mm からなり、面積は 12 m² である。外側の両面は 20 °C と 10 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 20 °CT3 = 10 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
ガラス, k = 0.96150 mmれんが, k = 0.72100 mm室内 20 °C屋外 -14 °CTs​ = ?Q̇

150 mm のガラスと 100 mm のれんがからなる壁が、20 °C の部屋と -14 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 10 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 12 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 12 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -14 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT130 °C80 °C10 °C60 °CΔT₁ΔT₂並流

並流熱交換器が 490 kW を伝える。 高温流体は 130 から 80 °C まで冷え、低温流体は 10 から 60 °C まで温まる。熱通過率は 500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 490 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 130 → 80 °CTc: 10 → 60 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT110 °C70 °C?15 °CΔT₁ΔT₂向流

向流二重管式熱交換器で、高温の油（0.5 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が内管を流れ、110 から 70 °C まで冷える。 環状部の水（1.5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 15 °C で流入する。内管の直径は 32 mm で、U = 400 W/(m²·K) はこの直径を基準とする。必要な管の長さ L を求めよ。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 110 → 70 °Cṁc = 1.5 kg/sTc,in = 15 °CD = 32 mmU = 400 W/(m²·K)
L = m

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 206.9 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.72·12) = 0.01157 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.17·12) = 0.03676 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 10/0.04834 = 206.9 W

答え

Q̇ = 206.9 W
2.熱伝導

答え: Ts = 12.19 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·12) = 0.008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0.96·12) = 0.01302 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.72·12) = 0.01157 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0.003333 K/W
ΣR = 0.03626 K/W

熱損失

Q̇ = (20 − (-14))/0.03626 = 937.6 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 937.6·0.008333 = 12.19 °C

答え

Ts = 12.19 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 17.56 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 130 − 10 = 120 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 80 − 60 = 20 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120 − 20)/ln(120/20) = 55.81 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 490000/(500·55.81) = 17.56 m²

答え

A = 17.56 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: L = 14.85 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = 0.5·2.1·(110 − 70) = 42 kW
Tc,out = 15 + 42/(1.5·4.18) = 21.7 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 21.7 = 88.3 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 15 = 55 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (88.3 − 55)/ln(88.3/55) = 70.34 K

面積と長さ

A = 42000/(400·70.34) = 1.493 m²
L = A/(πD) = 1.493/(π·0.032) = 14.85 m

答え

L = 14.85 m

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