伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
発泡ポリスチレン, k = 0.03550 mmれんが, k = 0.72150 mm22 °C9 °CTi​ = ?Q̇

壁は発泡ポリスチレン 50 mm とれんが 150 mm からなり、面積は 6 m² である。外側の両面は 22 °C と 9 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 22 °CT3 = 9 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
ガラス, k = 0.96150 mmコンクリート, k = 1.475 mm室内 20 °C屋外 5 °CQ̇

150 mm のガラスと 75 mm のコンクリートからなる壁が、20 °C の部屋と 5 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 8 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 6 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 6 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 5 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT150 °C100 °C15 °C75 °CΔT₁ΔT₂並流

並流熱交換器が 370 kW を伝える。 高温流体は 150 から 100 °C まで冷え、低温流体は 15 から 75 °C まで温まる。熱通過率は 200 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 370 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 150 → 100 °CTc: 15 → 75 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT115 °C85 °C25 °C?ΔT₁ΔT₂並流

並流二重管式熱交換器で、高温の油（0.5 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が内管を流れ、115 から 85 °C まで冷える。 環状部の水（0.3 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 25 °C で流入する。内管の直径は 32 mm で、U = 500 W/(m²·K) はこの直径を基準とする。必要な管の長さ L を求めよ。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 115 → 85 °Cṁc = 0.3 kg/sTc,in = 25 °CD = 32 mmU = 500 W/(m²·K)
L = m

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 10.65 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.035·6) = 0.2381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.72·6) = 0.03472 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 13/0.2728 = 47.65 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 47.65·0.2381 = 10.65 °C

答え

Ti = 10.65 °C
2.熱伝導

答え: U = 2.716 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·6) = 0.02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0.96·6) = 0.02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1.4·6) = 0.008929 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0.005556 K/W
ΣR = 0.06136 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(6·0.06136) = 2.716 W/(m²·K)

答え

U = 2.716 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 28.36 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 150 − 15 = 135 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 100 − 75 = 25 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (135 − 25)/ln(135/25) = 65.23 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 370000/(200·65.23) = 28.36 m²

答え

A = 28.36 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: L = 10.78 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = 0.5·2.1·(115 − 85) = 31.5 kW
Tc,out = 25 + 31.5/(0.3·4.18) = 50.12 °C

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 115 − 25 = 90 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 85 − 50.12 = 34.88 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 34.88)/ln(90/34.88) = 58.15 K

面積と長さ

A = 31500/(500·58.15) = 1.083 m²
L = A/(πD) = 1.083/(π·0.032) = 10.78 m

答え

L = 10.78 m

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