伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ガラス, k = 0.9650 mm発泡ポリスチレン, k = 0.03575 mm22 °C4 °CQ̇ = ?

壁はガラス 50 mm と発泡ポリスチレン 75 mm からなり、面積は 6 m² である。外側の両面は 22 °C と 4 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 22 °CT3 = 4 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
発泡ポリスチレン, k = 0.03550 mmコンクリート, k = 1.425 mm室内 21 °C屋外 1 °CTs​ = ?Q̇

50 mm の発泡ポリスチレンと 25 mm のコンクリートからなる壁が、21 °C の部屋と 1 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 10 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 15 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 15 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 1 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT80 °C55 °C20 °C45 °CΔT₁ΔT₂並流

並流熱交換器が 310 kW を伝える。 高温流体は 80 から 55 °C まで冷え、低温流体は 20 から 45 °C まで温まる。熱通過率は 1500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 310 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 80 → 55 °CTc: 20 → 45 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT150 °C65 °C30.59 °C15 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1 kg/s、cp = 2.3 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 150 から 65 °C まで冷える。油は 15 °C で流入する水 3 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 200 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.3 kJ/(kg·K)Th: 150 → 65 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 49.2 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.96·6) = 0.008681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.035·6) = 0.3571 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 18/0.3658 = 49.2 W

答え

Q̇ = 49.2 W
2.熱伝導

答え: Ts = 19.74 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·15) = 0.006667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.035·15) = 0.09524 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1.4·15) = 0.00119 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0.002667 K/W
ΣR = 0.1058 K/W

熱損失

Q̇ = (21 − (1))/0.1058 = 189.1 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 189.1·0.006667 = 19.74 °C

答え

Ts = 19.74 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 7.406 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 80 − 20 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 55 − 45 = 10 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 10)/ln(60/10) = 27.91 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 310000/(1500·27.91) = 7.406 m²

答え

A = 7.406 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 12.26 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2.3·85 = 195.5 kW
Tc,out = 15 + 195.5/(3·4.18) = 30.59 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 30.59 = 119.4 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 15 = 50 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (119.4 − 50)/ln(119.4/50) = 79.73 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 195500/(200·79.73) = 12.26 m²

答え

A = 12.26 m²

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