熱伝導
- フーリエの法則
- Q̇ = kAΔT/L
- 熱伝導抵抗
- R = L/(kA)
- 対流熱抵抗
- R = 1/(hA)
- 直列の熱抵抗
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U 値
- U = 1/(ΣR·A)
伝熱工学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
熱交換器 (LMTD)
- 交換熱量
- Q = U·A·ΔTlm
- 対数平均温度差
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- 流体ごとの熱収支
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2演習問題
1.熱伝導ふつう
壁はれんが 100 mm と石こうボード 75 mm からなり、面積は 6 m² である。外側の両面は 18 °C と 4 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。
L1 = 100 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 18 °CT3 = 4 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
100 mm のコンクリートと 75 mm の木材からなる壁が、22 °C の部屋と -7 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 20 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。
L1 = 100 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 20 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -7 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
並流熱交換器が 120 kW を伝える。 高温流体は 145 から 130 °C まで冷え、低温流体は 30 から 125 °C まで温まる。熱通過率は 500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。
Q̇ = 120 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 145 → 130 °CTc: 30 → 125 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
高温の油（1.5 kg/s、cp = 2.5 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 95 から 55 °C まで冷える。油は 15 °C で流入する水 3 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 300 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。
ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.5 kJ/(kg·K)Th: 95 → 55 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²
3溶液
1.熱伝導
答え: Ti = 14.65 °C
熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。
各層の熱抵抗
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.72·6) = 0.02315 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.17·6) = 0.07353 K/W
熱流量
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/0.09668 = 144.8 W
境界面温度
最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。
Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 144.8·0.02315 = 14.65 °C
答え
Ti = 14.65 °C
2.熱伝導
答え: Ts = 16.43 °C
熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。
直列の熱抵抗
Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·20) = 0.006494 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1.4·20) = 0.003571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.17·20) = 0.02206 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0.001667 K/W
ΣR = 0.03379 K/W
熱損失
Q̇ = (22 − (-7))/0.03379 = 858.2 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 858.2·0.006494 = 16.43 °C
答え
Ts = 16.43 °C
3.熱交換器 (LMTD)
答え: A = 6.841 m²
LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。
両端の温度差
並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 145 − 30 = 115 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 130 − 125 = 5 K
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115 − 5)/ln(115/5) = 35.08 K
面積
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 120000/(500·35.08) = 6.841 m²
答え
A = 6.841 m²
4.熱交換器 (LMTD)
答え: A = 9.473 m²
LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。
熱負荷と水の出口温度
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1.5·2.5·40 = 150 kW
Tc,out = 15 + 150/(3·4.18) = 26.96 °C
両端の温度差
向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 26.96 = 68.04 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 15 = 40 K
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (68.04 − 40)/ln(68.04/40) = 52.78 K
面積
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 150000/(300·52.78) = 9.473 m²
答え
A = 9.473 m²
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