投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

年金が毎年末に €8 000 を 7 年間支払います。利率は年 8% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。

A = €8 000i = 8%n = 7

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

9 年間、毎月末に €100 を積み立てます。口座の利率は年 4.2%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €1004.2% / 12N = 108

FV = €

3.債券の価格と利回りふつう

額面 €1 000 の債券が、年 4.5% のクーポンを年 2 回に分けて半年ごとに支払い、3 年後に満期を迎えます。最終利回りは年 2.5% です。この債券の価格 P を求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4.5%YTM = 2.5%n = 3

P = €

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000、年クーポン 4% の債券が 9 年後に満期を迎え、€895 で売られています。最終利回り YTM をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4%n = 9P = €895

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €10 000 000 の株主資本と時価 €1 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 14%、税引前負債コストは 5%、税率は 30% です。WACC を求めなさい。

E = €10 000 000D = €1 000 000r_e = 14%r_d = 5%T = 30%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある企業は1 株 €20.50 の株式 5 000 000 株と、1 口 €1 050 で取引されている債券 10 000 口をもっています。税引前負債コストは 6%、税率は 20% です。株式のベータは 1.1、無リスク金利は 2.5%、市場収益率は 7% です。WACC を求めなさい。

β = 1.1r_f = 2.5%r_m = 7%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €50 000 で、1 年目から 4 年目の各年末に €15 500, €19 000, €11 000, €18 500 を生みます。資本コストは 10% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 10%CF₀ = −50 000CF₁ = 15 500CF₂ = 19 000CF₃ = 11 000CF₄ = 18 500

DPB = 年

8.NPV と IRRむずかしい

€25 000 の投資が 8 年間、毎年末に €5 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

C₀ = €25 000CF = €5 000n = 8

IRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 41651 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.5835)/0.08 = 5.206

現在価値

PV = 8 000·5.206 = €41 650.96

答え

PV = €41 650.96

2.貨幣の時間価値

答え: FV = 13097 €

月利と積立回数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·9 = 108

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1.458 − 1)/0.0035 = €13 097.15

答え

FV = €13 097.15

自分で払い込んだのは €10 800。残りは利息です。

3.債券の価格と利回り

答え: P = 1057 €

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

1 期あたり

C = €22.50, i = 0.0125, N = 6

クーポンの現在価値

€22.50·(1 − 0.9282)/0.0125 = €129.29

額面の現在価値

€1 000·0.9282 = €928.17

価格

P = €1 057.46

答え

P = €1 057.46

利回りがクーポンレートより低いので、債券は額面より高く（オーバーパーで）売られます。

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 5.511 %

利回りの方程式

€895 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

数値的に解く

P(5%) = €928.92, P(6%) = €863.97

YTM = 5.511%

答え

YTM = 5.511%

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 13.05 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €11 000 000, E/V = 0.9091, D/V = 0.09091

WACC

WACC = 0.9091·14% + 0.09091·5%·(1 − 0.3) = 13.05%

答え

WACC = 13.05%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 7.204 %

時価

E = 5 000 000·€20.50 = €102 500 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

株主資本コスト（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.1·4.5% = 7.45%

ウェイト

V = €113 000 000, E/V = 0.9071, D/V = 0.09292

WACC

WACC = 0.9071·7.45% + 0.09292·6%·(1 − 0.2) = 7.204%

答え

WACC = 7.204%

7.NPV と IRR

答え: DPB = 3.945 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 15 500/1.1 = 14 090.91 → Σ = 14 090.91

年度 2: 19 000/1.21 = 15 702.48 → Σ = 29 793.39

年度 3: 11 000/1.331 = 8 264.46 → Σ = 38 057.85

年度 4: 18 500/1.464 = 12 635.75 → Σ = 50 693.60

最後の年の端数

DPB = 3 + 11 942.15/12 635.75 = 3.945

答え

DPB = 3.945 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（3.243 年）より長くなります。

8.NPV と IRR

答え: IRR = 11.81 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

必要な年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻⁸)/i = 25 000/5 000 = 5

利率について解く

利率が上がると年金現価係数は下がります。利率を挟み込んで絞り込みましょう。

i = 11%: 5.146

i = 12%: 4.968

IRR = 11.81%

答え

IRR = 11.81%

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