投資と企業価値評価：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

債券の価格と利回り

債券価格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年ごとの利払い: C/2、y/2、2n 期
直接利回り: C/P
価格と利回り: 利回り上昇 → 価格下落

解き方

1 期あたりのクーポンと 1 期あたりの利回りを求めます。
価格 = クーポンの現在価値（年金）+ 額面の現在価値。
半年ごとのクーポンでは、クーポンを半分、利回りを半分、期間数を 2 倍にします。
確認：利回りがクーポン・レートより高ければ、価格は額面より低くなります。

CAPM と WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企業価値: V = E + D

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

2演習問題

1.貨幣の時間価値ふつう

7 年後に €25 000 が必要です。口座の利率は年 4%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €25 0004% / 12n = 7

PV = €

2.貨幣の時間価値むずかしい

€20 000 のローンを 5 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 7.2%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €20 0007.2% / 12N = 60

A = €

3.債券の価格と利回りふつう

最終利回りが 3% のときに、残存期間 4 年の債券（額面 €1 000、年間クーポン 6%）を購入します。1 年後、最初のクーポンを受け取った直後に、最終利回りが 2% のときに売却します。保有期間利回り HPR をパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 6%n = 4y₀ = 3%y₁ = 2%

HPR = %

4.債券の価格と利回りむずかしい

額面 €1 000 の債券が年 4.5% のクーポンを半年ごとの 2 回に分けて支払い、9 年後に満期を迎えます。価格は €1 077 です。最終利回り YTM を年率（半年利回りの 2 倍）としてパーセントで求めなさい。

F = €1 000クーポンレート = 4.5% (2×)n = 9P = €1 077

YTM = %

5.CAPM と WACCふつう

ある企業は時価 €2 000 000 の株主資本と時価 €5 000 000 の負債をもっています。株主資本コストは 12%、税引前負債コストは 5%、税率は 20% です。WACC を求めなさい。

E = €2 000 000D = €5 000 000r_e = 12%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM と WACCむずかしい

ある会社の株主資本の時価は €5 000 000、株主資本コストは 11% です。負債は 2 000 枚の債券（額面 €1 000、年間クーポン 4%、残存期間 4 年）からなり、1 枚 €1 037 で取引されています。税率は 21% です。債券の最終利回りを税引前負債コストとして、WACC を求めなさい。

E = €5 000 000r_e = 11%債券: 2 000 × €1 037クーポンレート = 4%n = 4T = 21%

WACC = %

7.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €60 000 で、5 年間、毎年末に €17 000 を生みます。資本コストは 6% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 17 000CF₂ = 17 000CF₃ = 17 000CF₄ = 17 000CF₅ = 17 000

DPB = 年

8.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は €20 000 で、1 年目から 4 年目の各年末に €8 000, €10 000, €11 500, €11 500 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 10% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 10 000CF₃ = 11 500CF₄ = 11 500

MIRR = %

3溶液

1.貨幣の時間価値

答え: PV = 18903 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.04/12 = 0.003333

N = 12·7 = 84

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1.323 = €18 903.39

答え

PV = €18 903.39

2.貨幣の時間価値

答え: A = 397.9 €

月利と返済回数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·5 = 60

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.6984

A = 20 000·0.006/(1 − 0.6984) = €397.91

答え

A = €397.91

3.債券の価格と利回り

答え: HPR = 5.744 %

債券の価格：債券の価格は、そのキャッシュフローを最終利回り（YTM）で割り引いた現在価値です。クーポンは年金をなし、額面は満期に償還されます。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。利回りがクーポンレートより高いと債券は額面を下回る価格で取引され、低いと額面を上回る価格で取引されます。

購入価格

C = €60.00, i = 0.03, N = 4

€60.00·(1 − 0.8885)/0.03 + €1 000·0.8885 = €223.03 + €888.49 = €1 111.51

売却価格

C = €60.00, i = 0.02, N = 3

€60.00·(1 − 0.9423)/0.02 + €1 000·0.9423 = €173.03 + €942.32 = €1 115.36

保有期間利回り

HPR = (60 + 1 115.36 − 1 111.51)/1 111.51 = 5.744%

答え

HPR = 5.744%

4.債券の価格と利回り

答え: YTM = 3.495 %

1 期あたり

C = €22.50, N = 18

数値的に解く

i = 1.748% 半年あたり

YTM

YTM = 2·1.748% = 3.495%

答え

YTM = 3.495%

5.CAPM と WACC

答え: WACC = 6.286 %

資本コスト：CAPM は株主の要求収益率を与えます：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加重平均資本コストは、株主資本と負債を時価で加重して組み合わせます：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)、ただし V = E + D。支払利息は税務上損金に算入できるので、(1 − T) がつきます。

ウェイト

V = €7 000 000, E/V = 0.2857, D/V = 0.7143

WACC

WACC = 0.2857·12% + 0.7143·5%·(1 − 0.2) = 6.286%

答え

WACC = 6.286%

6.CAPM と WACC

答え: WACC = 8.471 %

負債コスト（YTM）

1037 = 40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1000/(1 + y)⁴

y = 3.004%

時価

D = 2 000·€1 037 = €2 074 000

V = €7 074 000, E/V = 0.7068, D/V = 0.2932

WACC

WACC = 0.7068·11% + 0.2932·3.004%·(1 − 0.21) = 8.471%

答え

WACC = 8.471%

7.NPV と IRR

答え: DPB = 4.086 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 17 000/1.06 = 16 037.74 → Σ = 16 037.74

年度 2: 17 000/1.124 = 15 129.94 → Σ = 31 167.68

年度 3: 17 000/1.191 = 14 273.53 → Σ = 45 441.20

年度 4: 17 000/1.262 = 13 465.59 → Σ = 58 906.80

年度 5: 17 000/1.338 = 12 703.39 → Σ = 71 610.18

最後の年の端数

DPB = 4 + 1 093.20/12 703.39 = 4.086

答え

DPB = 4.086 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（3.529 年）より長くなります。

8.NPV と IRR

答え: MIRR = 23.75 %

修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入の終価

8 000·1.1³ = 10 648.00

10 000·1.1² = 12 100.00

11 500·1.1¹ = 12 650.00

11 500·1.1⁰ = 11 500.00

TV = 46 898.00

MIRR

MIRR = (46 898.00/20 000)^1/4 − 1 = 23.75%

答え

MIRR = 23.75%

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